[論文レビュー] Long-Range Pairing in the Kitaev Model: Krylov Subspace Signatures

Rishabh Jha, Heiko Georg Menzler|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

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ひとこと要約

論文は、Krylov サブ空間法からの Lanczos 指数が、長距離 Kitaev チェーンの最も低い励起隙がエッジ局在化かバルク拡張かであるかを、厳密な単一粒子 Lanczos アルゴリズムを介して診断できることを示す。

ABSTRACT

Krylov subspace methods quantify operator growth in quantum many-body systems through Lanczos coefficients that encode how operators spread under time evolution. While these diagnostics have been proposed to distinguish quantum chaos from integrability, quadratic fermionic Hamiltonians are widely expected to exhibit trivial Lanczos structure. Here we demonstrate that Lanczos coefficients generated from local boundary operators provide a quantitative diagnostic of whether the lowest excitation gap is controlled by boundary-localized or bulk-extended modes in the long-range Kitaev chain, the model for topological superconductivity with algebraically decaying couplings. We introduce $Krylov$ $staggering$ $parameter$, defined as the logarithmic ratio of consecutive odd and even Lanczos coefficients, whose sign structure correlates robustly with the edge versus bulk character of the gap across the full phase diagram. This correlation arises from a bipartite Krylov structure induced by pairing, power-law couplings, and open boundaries. We derive an exact single-particle operator Lanczos algorithm that reduces the recursion from exponentially large operator space to a finite-dimensional linear problem, achieving machine precision for chains of hundreds of sites. These results establish Krylov diagnostics as operational probes of how low-energy excitations are localized along the chain and how strongly they are tied to the boundaries with broken U(1) symmetry, with potential applications to trapped-ion and cold-atom quantum simulators.

研究の動機と目的

• 二次フェルミオンモデルにおけるエッジ局在化対バルク拡張の低エネルギー励起を区別するための演算子発展診断の動機づけ。
• 大きな鎖に対して機械精度を保持する厳密な単一粒子 Lanczos フレームワークを開発。
• Krylov 指数および奇偶の staggering が、相図全体でエッジ対バルクの性質を示すことを実証。

提案手法

• ホッピングとペアリングの代数減衰をもつ長距離 Kitaev チェーンを定式化。
• 二次構造を露出させるために Bogoliubov–de Gennes および Majorana 表現へ変換。
• 再帰を有限次元線形問題へ還元する厳密な単一粒子演算子 Lanczos アルゴリズムを導出（L_sp = i H_M）。
• エルミート種子に対して対角 Lanczos 指数が消えることを示し、純粋にオフ対角の Krylov 鎖を生じる。
• Krylov staggering パラメータ eta_n = ln(b_{2n-1}/b_{2n}) を定義・計算し、その符号構造を診断として分析。
• BdG スペクトルとエッジ重みでエッジ対バルクのギャップを分類し、これを Krylov 診断と比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Krylov サブ空間の診断（Lanczos 指数を通じて）は、長距離 Kitaev チェーンのエッジ局在化励起とバルク拡張励起を識別できるか。
• RQ2 厳密な単一粒子 Lanczos 形式は、長距離ペアリングと開境界が演算子発展に与える影響を捉えられるか。
• RQ3 奇偶 Lanczos 指数の staggering が、境界支配のギャップとバルク支配のギャップの相違と相関して、相図全体でどう現れるか。

主な発見

• 境界種子からの Lanczos 指数は、最も低い励起が境界局在かバルク拡張かを定量的に診断できる。
• ペアリング、べき乗法則の結合、開境界により実数の二部 Krylov 構造が生じ、η_n の符号パターンが特徴づけられる。
• 厳密な単一粒子 Lanczos アルゴリズムは再帰を 2N 次元の線形問題へ還元し、何百サイト規模のチェーンに対して機械精度の結果を可能にする。
• η_n はエッジ・ギャップ相で符号を変え、バルク・ギャップ相では一定符号を保ち、相図全体でエッジ対バルクの性質と相関する。
• BdG スペクトルに基づくエッジ対バルク分類は、全相図にわたる動的 Krylov 空間診断と一致する。