[論文レビュー] Long range scattering for nonlinear Schrödinger equations with critical homogeneous nonlinearity

Satoshi Masaki, Hayato Miyazaki|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元および2次元の空間における臨界的同次非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式の長距離散乱理論において、修正波作用素の存在の十分条件を確立する。非線形項をフーリエ級数に分解して共鳴部と非共鳴部に分離することで、非共鳴級数の収束を保証するフーリエ係数の減衰条件を導出し、多項式でない非線形性に対しても修正波作用素の構成を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we consider the final state problem for the nonlinear Schrödinger equation with a homogeneous nonlinearity which is of the long range critical order and is not necessarily a polynomial, in one and two space dimensions. As the nonlinearity is the critical order, the possible asymptotic behavior depends on the shape of the nonlinearity. The aim here is to give a sufficient condition on the nonlinearity to construct a modified wave operator. To deal with a non-polynomial nonlinearity, we decompose it into a resonant part and a non-resonant part via the Fourier series expansion. Our sufficient condition is then given in terms of the Fourier coefficients. In particular, we need to pay attention to the decay of the Fourier coefficients since the non-resonant part is an infinite sum in general.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元における臨界的同次非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式の小規模で低周波数の解の漸近的挙動を特定すること。
• 多項式非線形性に限らない一般の臨界的次数の同次非線形性へと長距離散乱理論を拡張すること。
• 非線形性の存在に必要な十分条件を、フーリエ係数を用いて表現することにより、修正波作用素の存在を保証すること。
• 特に、フーリエ係数の減衰が収束に不可欠である場合に、非多項式の場合の非共鳴部を無限級数として取り扱う課題に対処すること。

提案手法

• 非線形項 $ F(u) $ を単位円上の周期関数 $ g(\theta) $ で表現し、同次性を活用して問題を角度依存性に還元する。
• 関数 $ g(\theta) $ をフーリエ級数に展開し、$ F(u) $ をゼロ周波数成分（共鳴部）と高調波（非共鳴部）に分解する。
• 非共鳴部を、係数がフーリエ展開から得られる $ |u|^{2m+1}u $ の形の項の無限和として分析する。
• フーリエ係数 $ g_n $ の減衰性質を用いて、非共鳴項に対する $ L^2 $-型推定を確立し、特に $ |g_n| \lesssim |n|^{-\beta} $（$ \beta > 0 $）を要請する。
• 重み付き関数空間 $ X_{d,T,b} $ におけるストリカルツおよび滑らかさの推定を用いて、解のノルムを制御し、固定点法における収縮性を証明する。
• 非線形性のリプシッツ連続性をフーリエ係数の観点から証明し、積分形式の適切な定義を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項にどのような条件下で、非線形シュレーディンガー方程式が長距離散乱の枠組みで修正波作用素を有するのか？
• RQ2 特に、フーリエ係数の減衰が収束に不可欠な場合に、非多項式で同次の非線形性の非共鳴部をどのように取り扱えるか？
• RQ3 非線形項のフーリエ係数にどのような減衰率を要すれば、級数の収束と修正波作用素の存在が保証されるか？
• RQ4 非線形項が多項式でない場合、例えば2次元における $ F(u) = |\operatorname{Re} u| \operatorname{Re} u $ のような場合、解の漸近的挙動はどのように特徴付けられるか？
• RQ5 共鳴項（$ g_0 $ が支配する項）が非共鳴項と比較して長距離挙動に与える影響は何か？

主な発見

• フーリエ係数 $ g_n $ の観点から、修正波作用素の存在の十分条件が導出された：$ |g_n| \lesssim |n|^{-\beta} $（$ \beta > 0 $）を満たすならば、非共鳴級数は関連する関数空間内で収束する。
• 2次元における非線形項 $ F(u) = |\operatorname{Re} u| \operatorname{Re} u $ は、非ゼロの共鳴項を含み、係数の十分な減衰により非共鳴部が収束するため、長距離散乱であることが示された。
• 固定点法によって構成された解は空間 $ X_{d,T,b} $ に属し、ノルム推定により $ \|\Phi(v)\|_{X_{d,T,b}} < 1 $（$ T $ が十分に大きい場合）が成り立つため、存在性と一意性が保証された。
• $ X_{d,T,b} $ における収縮写像の議論は、$ \|g\|_{\text{Lip}} \varepsilon^{2/d} $ の小ささに依存しており、これは $ g $ のリプシッツ定数に依存して $ \varepsilon $ を十分小さく選ぶことで保証される。
• 解の漸近的挙動は、$ u(t) \sim (2it)^{-d/2} e^{i|x|^2/4t} \widehat{u_+}(x/(2t)) \exp(-i \mu |\widehat{u_+}(x/(2t))|^{2/d} \log t) $ の形をとることを示し、共鳴項が非ゼロのとき長距離散乱が確認された。
• 非線形性をパrameter化する関数 $ g(\theta) $ のリプシッツ連続性が、点での有界性 $ |F(u) - F(v)| \leq C(|u|^{2/d} + |v|^{2/d})|u - v| $ に等価であることが示され、収縮議論にとって不可欠であることがわかった。