[論文レビュー] Long range scattering for some Schr"odinger related nonlinear systems

J. Ginibre, G. Velo|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2004

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、臨界次元における非線形シュレーディンガー関連系—具体的には波動-シュレーディンガー（WS）₃、マクスウェル-シュレーディンガー（MS）₃、クライン-ゴルドン-シュレーディンガー（KGS）₂、およびザハロフ（Z）ₙ系—に対する長距離散乱理論を確立する。小規模なシュレーディンガーデータと臨界的長距離相互作用に特化した直接的手法を用い、波動またはポテンシャルデータにサイズ制限がない条件下で、所定の漸近的挙動を持つ大域的解の存在を証明し、適切なノルムにおいてO(t⁻¹)の収束速度を導出する。

ABSTRACT

We review some recent results on the theory of scattering and more precisely on the local Cauchy problem at infinity in time for some long range nonlinear systems including some form of the Schr"odinger equation. We consider in particular the Wave-Schr"odinger system in space dimension 3, the Maxwell-Schr"odinger system in space dimension 3, the Klein-Gordon-Schr"odinger system in space dimension 2 and the Zakharov system in space dimensions 2 and 3. By the use of a direct method which is intrinsically restricted to the case of small Schr"odinger data and to the borderline long range case, one can prove the existence of solutions defined for large times and with prescribed asymptotic behaviour in time, without any size restriction on the Wave, Maxwell or Klein-Gordon data. Furthermore one obtains convergence rates of the solutions to their asymptotic forms as negative powers of t in suitable norms.

研究の動機と目的

• 臨界次元におけるシュレーディンガー方程式を含む非線形系の長距離散乱理論を確立すること。
• 長距離相互作用を有する系における時間無限大における局所的コーシー問題を扱うこと。
• 小規模なシュレーディンガーデータに制限された直接的手法を用いて、所定の漸近的挙動を持つ大域的解の存在を証明すること。
• 適切なノルムにおける解の収束速度O(t⁻¹)を導出すること。
• 波動、マクスウェル、またはクライン-ゴルドン場のデータにサイズ制限が不要であることを示すこと。

提案手法

• 境界に近い長距離ケースに対して、小規模なシュレーディンガーデータに特化した直接的手法が適用される。
• 漸近的プロファイルは、元の自由線形系の解を変更することで構成される。
• この手法は、長距離挙動を捉える近似解(uₐ, Aₐ)の構築に依存する。
• 重み付きノルムと漸近状態u₊のフーリエ変換に対する減衰仮定を用いて、主要な推定が得られる。
• 漸近形から生じる特異性は、特定の等高線集合（例：|x|=r）におけるŝu₊の十分な消失次数を仮定することで制御される。
• 剰余項(v,B) = (u−uₐ, A−Aₐ)を制御するための関数空間X([T,∞))の枠組みが用いられ、一意性と存在性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間無限大における漸近的挙動が所定の非線形長距離シュレーディンガー系に対して、大域的解を構成できるか？
• RQ2 長距離領域における解の収束速度はどの程度達成可能であり、それらは漸近的データにどのように依存するか？
• RQ3 長距離散乱理論において、波動またはポテンシャルデータのサイズをどの程度緩和できるか？
• RQ4 波動またはポテンシャル成分に小規模性を課さない条件下で、漸近的プロファイルの構築における特異性をどのように制御できるか？
• RQ5 大域的解の存在を保証するための漸近状態ŝu₊の最小限の正則性および減衰仮定は何か？

主な発見

• (KGS)₂系に対して、クライン-ゴルドンまたはポテンシャルデータにサイズ制限がない条件下で、所定の漸近的挙動を持つ大域的解が存在する。
• 適切なノルムにおいて、解の収束速度O(t⁻¹)が、境界に近い長距離ケースに対応して確立される。
• 漸近的プロファイルは、自由線形解を変更することで構成され、長距離相互作用項から導かれる補正が含まれる。
• この手法により、長距離性を有するにもかかわらず、波動、マクスウェル、またはクライン-ゴルドン場のデータに小規模性条件が不要であることが可能になる。
• 漸近的プロファイルの特異性は、特定の集合（例：|x|=r）における漸近的シュレーディンガー状態のフーリエ変換の十分な消失を仮定することで制御される。
• (WS)₃、(MS)₃、および(Z)ₙ系に対しても、同様の収束速度とデータサイズ仮定が成り立つことが予想され、それぞれの長距離領域で有効である。