[論文レビュー] Long Tail Behavior of Queue Lengths in Broadband Networks: Tsallis Entropy Framework

Karmeshu, Shachi Sharma|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、広帯域ネットワークにおける長尾型キュー長分布をモデル化するため、Tsallisエントロピーに基づく最大エントロピーフレームワークを提案する。q < 1 のとき、パワー則的挙動が出現することを示している。キュー長確率の明示的表現を導出し、低流量強度におけるシステム利用度が M/M/1 の水準を下回ることを示している。また、q の値が変化する際、流量強度 r とラグランジュ乗数 b の間には非線形な関係が成り立ち、b における指数関数的およびパワー則的項を含む。

ABSTRACT

A maximum entropy framework based on Tsallis entropy is proposed to depict long tail behavior of queue lengths in broadband networks. Queue length expression as measured in terms of number of packets involves Hurwitz-zeta function. When the entropy parameter q in Tsallis entropy is less than unity, the distribution of packets yields power law behavior. In the limit q tending to unity, Tsallis entropy expression reduces to one due to Shannon and well-known results of M/M/1 queuing system are recovered. Relationship between Tsallis entropy parameter q and Hurst parameter H (measure of self-similarity) is postulated. A numerical procedure based on Newton-Raphson method is outlined to compute Lagrange's parameter b. Various relationships between traffic intensity r and Lagrange's parameter b are examined using data generated from mean number of packets from storage model due to Norros. It is found that best fit corresponds to r being a linear combination of decaying exponential and power exponent in b for different values of entropy parameter q. Explicit expression for the probability that queue size exceeds a certain value is derived and it is established that it asymptotically follows power law for q less than one. The system utilization shows an interesting behavior when the parameter r is varied. It attains lower values than that of M/M/1 system for smaller values of r whereas situation reverses for higher values of r.

研究の動機と目的

• 非拡張統計力学的手法を用いて、広帯域ネットワークにおける長尾型キュー長分布をモデル化すること。
• Tsallisエントロピーのパラメータ q と、トラフィックの自己相似性を反映するハーストパラメータ H の関係を調査すること。
• キュー サイズがしきい値を超える確率の閉形式表現を導出し、その漸近的パワー則的挙動を確立すること。
• 流量強度 r とエントロピー パラメータ q が変化する際のシステム利用度の挙動を検討すること。
• ラグランジュ乗数 b をニュートン・ラプソン法を用いて計算するための数値的手順を開発すること。

提案手法

• q < 1 のパラメータを有するTsallisエントロピーを用いて、非拡張系をモデル化し、パワー則的分布を導出する。
• 平均キュー サイズおよび正規化の制約の下で、最大エントロピー原理を用いてキュー長分布を導出する。
• 得られた分布は、Hurwitz-zeta関数を含み、q < 1 のときパワー則的減衰を示す。
• 平均キュー サイズからラグランジュ乗数 b を計算するための、ニュートン・ラプソン反復に基づく数値手法を用いる。
• 流量強度 r と b の関係は、異なる q 値に対して、b における減衰指数関数およびパワー則的関数の線形結合としてモデル化される。
• 尾部確率の漸近的挙動は解析的に導出され、q < 1 のときパワー則的減衰が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tsallisエントロピーのパラメータ q は、広帯域ネットワークにおけるキュー長の長尾型挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 提案されたフレームワークにおいて、流量強度 r とラグランジュ乗数 b の間の関数的関係は何か？
• RQ3 流量強度 r とエントロピー パラメータ q が変化する際、Tsallisに基づくモデルにおけるシステム利用度は、古典的 M/M/1 キューイングと比べてどのように異なるか？
• RQ4 Tsallisエントロピー モデル下での尾部確率 P(キュー サイズ > x) の解析的形は何か？
• RQ5 自己相似性を示すハーストパラメータ H と、このフレームワークにおけるエントロピー パラメータ q の関係は何か？

主な発見

• q < 1 のとき、キュー長分布はパワー則的挙動を示し、広帯域トラフィックにおける長尾特性を確認する。
• q が 1 に近づくと、Tsallisエントロピーはシャノンエントロピーに還元され、モデルは標準的な M/M/1 キューイング結果を回復する。
• キュー サイズがしきい値を超える確率は、q < 1 のとき漸近的にパワー則に従い、分布の長尾特性が裏付けられる。
• 低流量強度 r の場合、システム利用度は M/M/1 モデルより低くなるが、r が高くなるとそれを上回り、非単調な挙動を示す。
• r を b の関数としてフィットする最良のモデルは、減衰指数関数とパワー則的関数の線形結合であり、係数はエントロピー パラメータ q に依存する。
• ラグランジュ乗数 b の数値的解法は、ニュートン・ラプソン法を用いて効率的に計算可能であり、フレームワークの実用的実装を可能にする。