[論文レビュー] Long time behavior of random and nonautonomous Fisher-KPP equations. Part I. Stability of equilibria and spreading speeds

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界性や一様正性の仮定を課さずに、非有界またはゼロに近づく成長率をとる確率的・非非-autonomousなFisher-KPP方程式に対する非負解の長期的挙動を調査する。正の平衡解 $ u=1 $ の漸近的安定性を確立し、決定的 spreading speed の区間 $[2ackslashsqrt{ackslashunderline{a}}, 2ackslashsqrt{ackslashbar{a}}]$ を導出し、$ a(\omega) $ や $ a_0(t) $ が領域の一部で無限大またはゼロに近づく場合でさえ、spreading speed の線形的決定性を証明する。

ABSTRACT

In the current series of two papers, we study the long time behavior of the following random Fisher-KPP equation $$ u_t =u_{xx}+a(θ_tω)u(1-u),\quad x\in\mathbb{R} $$ where $ω\inΩ$, $(Ω, \mathcal{F},\mathbb{P})$ is a given probability space, $θ_t$ is an ergodic metric dynamical system on $Ω$, and $a(ω)>0$ for every $ω\inΩ$. We also study the long time behavior of the following nonautonomous Fisher-KPP equation, $$ u_t=u_{xx}+a_0(t)u(1-u),\quad x\in\mathbb{R}$$ where $a_0(t)$ is a positive locally Hölder continuous function. In this first part of the series, we investigate the stability of positive equilibria and the spreading speeds. Under some proper assumption on $a(ω)$, we show that the constant solution $u=1$ of (1) is asymptotically stable with respect to strictly positive perturbations and show that (1) has a deterministic spreading speed interval $[2\sqrt{\underline a}, 2\sqrt{\bar a}]$, where $\underline{a}$ and $\bar a$ are the least and the greatest means of $a(\cdot)$, respectively, and hence the spreading speed interval is linearly determinant. It is shown that the solution of (1) with the initial function which is bounded away from $0$ for $x\ll -1$ and is $0$ for $x\gg 1$ propagates at the speed $2\sqrt {\hat a}$, where $\hat a$ is the average of $a(\cdot)$. Under some assumption on $a_0(\cdot)$, we also show that the constant solution $u=1$ of (2) is asymptotically stably and (2) admits a bounded spreading speed interval. It is not assumed that $a(ω)$ and $a_0(t)$ are bounded above and below by some positive constants. The results obtained in this part are new and extend the existing results in literature on spreading speeds of Fisher-KPP equations. In the second part of the series, we will study the existence and stability of transition fronts of (1) and (2).

研究の動機と目的

• 非有界またはゼロに近づく成長率をとる非非-autonomousおよび確率的Fisher-KPP方程式の長期的ダイナミクスを分析すること。
• 時間的・空間的依存の成長率に対して一般な条件下で、正の平衡解 $ u=1 $ の漸近的安定性を確立すること。
• $ \inf a(\omega) > 0 $ や $ \sup a_0(t) < \infty $ を仮定しないで、確率的および非非-autonomousなFisher-KPP方程式の spreading speed の区間を特定すること。
• 古典的な spreading speed および take-over 性質の結果を、より一般で滑らかでない成長率関数へと拡張すること。
• 本シリーズの第2部における遷移波の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 確率的Fisher-KPP方程式における時間的・確率的係数 $ a(\theta_t\omega) $ をモデル化するために、エルゴディックな度量的力学系を用いる。
• 長期間の挙動を解析し、確率的状況での spreading speed を導出するために、劣加法的エルゴディック定理を適用する。
• 比較原理および定数係数を持つ補助解を用いて、非非-autonomous方程式の解を評価する。
• 指数関数および時間依存ポテンシャルを用いた明示的な上界解を構築し、解の減衰および伝播を制御する。
• 移動座標系の方法および移動波型推定を用いて、非非-autonomous設定における spreading speed を解析する。
• 有効な成長率 $ \underline{a} $ および $ \bar{a} $ を持つ定数係数Fisher-KPP方程式との比較により、spreading speed の線形的決定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成長率 $ a(\omega) $ が非有界またはゼロに近づく場合、確率的Fisher-KPP方程式における正の平衡解 $ u=1 $ はどのような条件下で漸近的に安定か？
• RQ2 成長率 $ a(\omega) $ がゼロから一様に離れていない、または無限大に近づく場合、確率的Fisher-KPP方程式の spreading speed の区間は何か？
• RQ3 成長率 $ a_0(t) $ が有界でない場合、非非-autonomous Fisher-KPP方程式の spreading speed は時間平均成長率 $ \hat{a} $ にどのように依存するか？
• RQ4 成長率 $ a(\omega) $ や $ a_0(t) $ に一様な下界・上界がない場合、spreading speed は線形的決定的か？
• RQ5 成長率が不規則または非有界である場合でも、take-over 性質（即ち、速度 $ 2\sqrt{\hat{a}} $ での伝播）は保持されるか？

主な発見

• 成長率 $ a(\omega) $ がゼロから一様に離れていない場合でさえ、確率的Fisher-KPP方程式において定数解 $ u=1 $ は、正の初期摂動に対して漸近的に安定である。
• 確率的Fisher-KPP方程式は、$ a(\omega) $ の本質的下限 $ \underline{a} $ および上限 $ \bar{a} $ を用いて表される決定的 spreading speed の区間 $[2\backslashsqrt{\backslashunderline{a}}, 2\backslashsqrt{\backslashbar{a}}]$ を持つ。
• 初期データが $ x \ll -1 $ で1、$ x \gg 1 $ で0である場合、解は速度 $ 2\sqrt{\hat{a}} $ で伝播する。ここで $ \hat{a} $ は $ a(\cdot) $ の平均である。
• 非非-autonomous Fisher-KPP方程式において、$ \inf a_0(t) = 0 $ または $ \sup a_0(t) = \infty $ であっても、$ a_0(t) $ にやや厳しい条件を課せば、正の平衡解 $ u=1 $ は漸近的に安定である。
• 非非-autonomous状況における spreading speed の区間は有界であり、時間平均成長率 $ \underline{a}_0 $ および $ \overline{a}_0 $ に依存し、線形的決定性が保たれる。
• $ \inf a_0(t) = 0 $、$ \sup a_0(t) = \infty $ であるが、$ \underline{a}_0 = 1 $、$ \overline{a}_0 = 2 $ を満たす $ a_0(t) $ の明示例を構成し、理論が極めて不規則な成長率に対しても適用可能であることを示している。