[論文レビュー] Long time behavior of solutions of Fisher-KPP equation with advection and free boundaries

Hong Gu, Bendong Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、拡散と自由境界を伴うFisher-KPP方程式の長期間における解の挙動を研究している。広大な環境における集団の拡散をモデル化する。解の拡散、消滅、または「仮想的拡散」の状態を決定する臨界閾値β*とc₀（最小移動波速度）を同定している。β（広大化係数）と初期集団サイズσに応じて、解の挙動が異なる。

ABSTRACT

We consider Fisher-KPP equation with advection: $u_t=u_{xx}-βu_x+f(u)$ for $x\in (g(t),h(t))$, where $g(t)$ and $h(t)$ are two free boundaries satisfying Stefan conditions. This equation is used to describe the population dynamics in advective environments. We study the influence of the advection coefficient $-β$ on the long time behavior of the solutions. We find two parameters $c_0$ and $β^*$ with $β^*>c_0>0$ which play key roles in the dynamics, here $c_0$ is the minimal speed of the traveling waves of Fisher-KPP equation. More precisely, by studying a family of the initial data $\{ σϕ\}_{σ>0}$ (where $ϕ$ is some compactly supported positive function), we show that, (1) in case $β\in (0,c_0)$, there exists $σ^*\geqslant0$ such that spreading happens when $σ> σ^*$ and vanishing happens when $σ\in (0,σ^*]$; (2) in case $β\in (c_0,β^*)$, there exists $σ^*>0$ such that virtual spreading happens when $σ>σ^*$ (i.e., $u(t,\cdot;σϕ) o 0$ locally uniformly in $[g(t),\infty)$ and $u(t,\cdot + ct;σϕ) o 1$ locally uniformly in $\R$ for some $c>β-c_0$), vanishing happens when $σ\in (0,σ^*)$, and in the transition case $σ=σ^*$, $u(t, \cdot+o(t);σϕ) o V^*(\cdot-(β-c_0)t )$ uniformly, the latter is a traveling wave with a "big head" near the free boundary $x=(β-c_0)t$ and with an infinite long "tail" on the left; (3) in case $β= c_0$, there exists $σ^*>0$ such that virtual spreading happens when $σ> σ^*$ and $u(t,\cdot;σϕ) o 0$ uniformly in $[g(t),h(t)]$ when $σ\in (0,σ^*]$; (4) in case $β\geqslant β^*$, vanishing happens for any solution.

研究の動機と目的

• 広大化（βでモデル化）が自由境界を持つ移動環境における長期的集団動態に与える影響を理解すること。
• 広大化の存在下で、解が拡散、消滅、または仮想的拡散を示す条件を特定すること。
• 異なる長期的挙動の間を切り替える臨界閾値β*とc₀を同定すること。
• 特にβ = c₀およびβ = β*の近傍で、過渡状態における解の漸近的プロファイルを分析すること。
• 広大化なしのFisher-KPP方程式に関する先行研究を、空間的広大化と自由境界動態を含む場合に拡張すること。

提案手法

• 広大化を伴うFisher-KPP方程式の自由境界問題を分析：$ u_t = u_{xx} - \beta u_x + f(u) $、ここで$ f $は単一安定条件を満たす。
• コンパクトな台を持つ初期データの族$ \sigma\phi$を用い、初期集団サイズσに依存する挙動を研究する。
• 比較原理を適用し、移動波プロファイル$ W_\delta $と$ V^* $を用いて下界および上界解を構成する。
• 解の下で時間シフトされた移動波構成を用い、背理法による漸近的挙動の導出を行う。
• 自由境界$ g(t) $と$ h(t) $の運動をStefan型条件を用いて分析：$ g'(t) = -\mu u_x(t,g(t)) $、$ h'(t) = -\mu u_x(t,h(t)) $。
• 非広大化ケースに関する先行研究で知られている、拡散速度$ c^* $と漸近的プロファイルの結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広大化係数βは、自由境界を伴うFisher-KPP方程式の解の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ2 拡散、消滅、仮想的拡散の間の遷移を決定する臨界閾値β*とc₀は何か？
• RQ3 β = c₀またはβ ∈ (c₀, β*)の場合、解の漸近的プロファイルはどのようになるか？
• RQ4 初期集団サイズσは、結果（拡散、消滅、仮想的拡散）にどのように影響するか？
• RQ5 β ∈ (c₀, β*)の場合、σ = σ*の過渡状態では解はどのように振る舞うか？

主な発見

• β ∈ (0, c₀) の場合、σ > σ* ならば拡散が発生し、σ ≤ σ* ならば消滅が発生する。
• β ∈ (c₀, β*) の場合、σ > σ* ならば仮想的拡散が発生し、σ < σ* ならば消滅が発生し、σ = σ* では「大きな頭」と無限の尾を持つ移動波が形成される。
• β = c₀ の場合、σ > σ* ならば仮想的拡散が発生し、σ ≤ σ* ならば消滅が発生する。
• β ≥ β* の場合、σにかかわらずすべての初期データに対して消滅が発生する。
• 臨界値β* > c₀であり、c₀は非広大化ケースにおける移動波の最小速度である。
• 仮想的拡散状態では、解は速度β − c₀で移動する移動波$ V^* $に収束し、自由境界付近に局在化した「大きな頭」と左側に長い尾を持つ。