[論文レビュー] Long time behaviour and turnpike solutions in mildly non-monotone mean field games

Marco Cirant, Alessio Porretta|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアンの局所的均一凸性と加法的ノイズの下で、やや非単調な平均場ゲーム系の適切性と長期的挙動を確立する。単調性を要しない条件下で、転位性（turnpike）性質、定常解への収束、割引率をゼロに近づける極限における収束を証明し、反単調性の弱さを補うために拡散による正則化に依存する。

ABSTRACT

We consider mean field game systems in time-horizon $(0,T)$, where the individual cost functional depends locally on the density distribution of the agents, and the Hamiltonian is locally uniformly convex. We show that, even if the coupling cost functions are mildly non-monotone, then the system is still well posed due to the effect of individual noise. The rate of anti-monotonicity (i.e. the aggregation rate of the cost functions) which can be afforded depends on the intensity of the diffusion and on global bounds of solutions. We give applications to either the case of globally Lipschitz Hamiltonians or the case of quadratic Hamiltonians and couplings having mild growth. Under similar conditions, we investigate the long time behavior of solutions and we give a complete description of the ergodic and long term properties of the system. In particular we prove: (i) the turnpike property of solutions in the finite (long) horizon $(0,T)$, (ii) the convergence of the system in $(0,T)$ towards the system in $(0,\infty)$, (iii) the vanishing discount limit of the infinite horizon problem and the long time convergence towards the ergodic stationary solution. This way we extend previous results which were known only for the case of monotone and smoothing couplings; our approach is self-contained and does not need the use of the linearized system or of the master equation.

研究の動機と目的

• 非単調な結合関数が通常必要とされる一意性および安定性のための制限を越えて、平均場ゲーム理論を拡張すること。
• 個々のノイズ（拡散）が、コスト関数におけるやや強い反単調性を補うのにどの程度有効であるかを調査すること。
• 有限および無限時間枠組みにおいて、非単調な結合関数を持つ場合の転位性および長期的収束を定常解への収束として確立すること。
• 線形化系やマスタ方程式フレームワークに依存せずに、自己完結的な解析を提供すること。
• 従来の長期的挙動に関する結果を、非単調で、局所リプシッツ的または二次のハミルトニアン、およびやや成長が緩い結合関数へ一般化すること。

提案手法

• トーラス $\mathbb{T}^d$ 上のハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式とフォッカー・プランク方程式を結合する前向き・後ろ向きのPDE系を分析する。
• ハミルトニアンの局所的均一凸性と解のグローバルな有界性を用いて、反単調性の影響を制御する。
• エネルギー推定とグローナル型不等式を用いて、密度および価値関数の差に対する $L^2$-有界性を導出する。
• フォッカー・プランク方程式のデュハメルの原理と畳み込み推定を用いて、正則性および可積分性を制御する。
• 指数的重みを用いた重み付き $L^2$-推定を用いて、割引率をゼロに近づける極限および長期収束を分析する。
• フォッカー・プランク方程式の正則性補題を適用し、ドリフトおよび初期データの $L^{p'}$ ノルムを密度の $L^{p'}$ ノルムで上から抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合関数がやや非単調であっても、平均場ゲーム系は適切性を保つことができるか？
• RQ2 拡散の影響下で、コスト関数における反単調性はどの程度まで許容可能か？
• RQ3 非単調な結合関数を持つ有限時間平均場ゲームにおいて、転位性が成立するか？
• RQ4 単調性が欠如する状況下で、$T \to \infty$ のときの解の長期的挙動はいかなるものか？
• RQ5 非単調な結合関数を持つ無限時間問題において、割引率をゼロに近づける極限はどのように振る舞うか？

主な発見

• 拡散強度および解の有界性が反単調性を相殺するのに十分であれば、結合コスト関数がやや非単調であっても、系は適切性を保つ。
• 有限時間問題では、解が時間区間の大部分において定常解に近いままであるという転位性が成立する。
• 同じ条件下で、$T \to \infty$ のとき、解は定常解に収束する。
• 無限時間問題における割引率をゼロに近づける極限は、単調性がなくても定常解に収束する。
• 結果は、グローバルリプシッツ的ハミルトニアンおよび結合関数の成長がやや弱い二次的ハミルトニアンの両方に対して有効である。
• 解析は自己完結的であり、マスタ方程式や線形化系の使用を必要としない。