[論文レビュー] Long time decay for global solutions to the Navier-Stokes equations in Sobolev-Gevery spaces

Hajer Orf|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のグローバル解について、ソボレフ＝ゲヴレー空間における長時間の減衰を確立する。具体的には、グローバル解の $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$-ノルムが時間 $t \to \infty$ のときゼロに収束することを証明する。フーリエ解析と重み付きソボレフ＝ゲヴレー枠組みにおけるエネルギー推定を用いて、$\dot{H}^{1/2}$ および $\dot{H}^{1}_{a,\sigma}$ における既存の結果を拡張し、高階の同次ソボレフノルムにおける多項式的減衰率を示す。

ABSTRACT

In this paper, we prove that if $u\in C([0,\infty), \dot{H}^{1/2}_{a,1}(\mathbb{R}^3))$ is a global solution of 3D incompressible Navier-Stokes equations, then $\|u\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}}$ decays to zero as time approaches infinity. Fourier analysis and standard techniques are used.

研究の動機と目的

• 3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のグローバル解が臨界的ソボレフ＝ゲヴレー空間 $\dot{H}^{1/2}_{a,1}(\mathbb{R}^3)$ において長時間の減衰を確立すること。
• $\dot{H}^{1/2}$ および $\dot{H}^{1}_{a,\sigma}$ における減衰に関する既存の結果を、指数型重みを組み込むゲヴレークラス構造を有する極限空間 $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$ に拡張すること。
• 初期データが $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$-ノルムで近くにある場合のグローバル解の安定性を証明し、近傍の初期データに対してもグローバル存在が保証されることを示すこと。
• 高階ソボレフノルムにおける定量的減衰率を導出し、$s \geq 1/2$ に対して $\|u(t)\|_{\dot{H}^s} = o(t^{-(s-1/2)/2})$ が $t \to \infty$ のとき成り立つことを示すこと。

提案手法

• 解の時間発展を、二重周波数ブロックにわたる重み付き和として定義される $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$-ノルムにおいて解析するため、フーリエ変換と周波数局在化技術を用いる。
• 重み付きソボレフ＝ゲヴレー空間 $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$ におけるエネルギー推定を用い、$\|u(t)\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}}^2$ と $\|u(t)\|_{\dot{H}^{3/2}_{a,1}}^2$ を含む微分不等式を導出し、成長を制御する。
• 摂動された解の差分方程式にグローバル不等式を適用し、$\|u\|_{\dot{H}^1_{a,1}}^4$ の時間積分可能性を用いて、$\dot{H}^{1/2}_{a,1}$-ノルムにおける差の成長を制御する。
• 同次ソボレフ空間における帰納法と補間を用い、$s = 1/2$ を基本ケースとして $\|u(t)\|_{\dot{H}^s}$ の減衰率を導出する。
• 非線形項 $u \cdot \nabla u$ の構造を活用し、適切な関数空間における固定点法を用いて、$\dot{H}^{1/2}_{a,1}$ における局所的および大域的適切性を確立する。
• Gallager, Iftimie, Planchon による結果 $\|u(t)\|_{\dot{H}^{1/2}} \to 0$ ($t \to \infty$) を、高階減衰のための主要なブートストラップ入力を得るために用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ナビエ＝ストークス方程式のグローバル解の $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$-ノルムは、$t \to \infty$ のときゼロに収束するか？
• RQ2 高階ノルム $\|u(t)\|_{\dot{H}^s}$ は、$t \to \infty$ のときどの程度の減衰率を示すか？
• RQ3 初期データが $\dot{H}^{1/2}_{a,1}$-ノルムで近くにある場合、$\dot{H}^{1/2}_{a,1}$ におけるグローバル解は安定か？
• RQ4 初期データが十分に小さい場合、$\dot{H}^{1/2}_{a,1}$ における解の最大存在時間 $T^*$ は無限大か？
• RQ5 非線形項 $u \cdot \nabla u$ の構造は、重み付きゲヴレー＝ソボレフ枠組みにおける長時間挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の任意のグローバル解 $u$ に対して、$\lim_{t \to \infty} \|u(t)\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}} = 0$ が成り立つ。
• 解 $u$ は高階の同次ソボレフノルムにおいて多項式的減衰を示す：$\|u(t)\|_{\dot{H}^s} = o(t^{-(s-1/2)/2})$ が $t \to \infty$ のときすべての $s \geq 1/2$ に対して成り立つ。
• 初期データが $\|u(0)\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}} < 1/C$ を満たすならば、解は時間全域にわたりグローバルに存在する（$T^* = \infty$）。
• 最大存在時間 $T^*$ が有限であるならば、$\int_0^{T^*} \|u(t)\|_{\dot{H}^{3/2}_{a,1}}^2 dt = \infty$ が成り立ち、これは高階エネルギーの $L^2$-ノルムにおける爆発を示唆する。
• グローバル解は安定である：$\|v^0 - u(0)\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}}^2 \leq \frac{1}{4} \exp\left(-\frac{C}{2} \int_0^\infty \|u(z)\|_{\dot{H}^1_{a,1}}^4 dz\right)$ ならば、$v$ はグローバルに存在し、$\|v(t) - u(t)\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}}^2$ は減衰する指数関数で有界に保たれる。
• $\|u(t)\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}}^2$ は重み付き和 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(2a)^k}{k!} \|u(t)\|_{\dot{H}^{(1+k)/2}}^2$ として表現され、$t \to \infty$ のときゼロに収束する。