[論文レビュー] Long time dynamics and disorder-induced traveling waves in the stochastic Kuramoto model

Éric Luçon, Christophe Poquet|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 39被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、クエンチド不純度を伴う確率的 Kuramoto モデルにおける長時間ダイナミクスを調査し、N の平方根に比例する時間スケールにおいて、同期化された定常多様体に沿って、経験的測度に不純度由来の進行波が出現することを示している。主な結果は、不純度のフラクチュエーションが熱的ノイズを上回ることを確立しており、その結果、速度および方向がクエンチド周波数の非対称性に依存する持続的な回転が生じることを示している。

ABSTRACT

The aim of the paper is to address the long time behavior of the Kuramoto model of mean-field coupled phase rotators, subject to white noise and quenched frequencies. We analyse the influence of the fluctuations of both thermal noise and frequencies (seen as a disorder) on a large but finite population of $N$ rotators, in the case where the law of the disorder is symmetric. On a finite time scale $[0, T]$, the system is known to be self-averaging: the empirical measure of the system converges as $N\ o \\infty$ to the deterministic solution of a nonlinear Fokker-Planck equation which exhibits a stable manifold of synchronized stationary profiles for large interaction. On longer time scales, competition between the finite-size effects of the noise and disorder makes the system deviate from this mean-field behavior. In the main result of the paper we show that on a time scale of order $ \\sqrt{N}$ the fluctuations of the disorder prevail over the fluctuations of the noise: we establish the existence of disorder-induced traveling waves for the empirical measure along the stationary manifold. This result is proved for fixed realizations of the disorder and emphasis is put on the influence of the asymmetry of these quenched frequencies on the direction and speed of rotation of the system. Asymptotics on the drift are provided in the limit of small disorder.

研究の動機と目的

• 有限かつ大きな集団における熱的ノイズとクエンチド周波数不純度を併せ持つ Kuramoto モデルの長時間ダイナミクスを分析すること。
• 平均場近似の外において、系のマクロな挙動に影響を及ぼす有限サイズのフラクチュエーションとしての熱的ノイズと不純度の競合を解明すること。
• 長時間スケールにおいて、ノイズではなく不純度に起因する経験的測度における進行波の出現を厳密に確立すること。
• クエンチド周波数の非対称性が、系内の回転の方向および速度に与える影響を定量化すること。
• 微小不純度の極限における進行波のドリフトの漸近的表現を提供すること。

提案手法

• 相互作用、ノイズ、クエンチド周波数を含む Ito 型 Ito 型 SDE で記述される N 個の位相ローターからなる確率的 Kuramoto モデルを分析する。
• N → ∞ の極限において、系の挙動を記述する非線形 Fokker-Planck PDE を平均場近似によって導出する。
• 大きな結合強度 K に対して、同期化定常プロファイルの安定多様体を特定する。
• 時間スケール分離を適用する：不純度フラクチュエーションが熱的ノイズを上回る √N 時間スケールでのダイナミクスを分析する。
• Fokker-Planck 演算子に対するスペクトル解析と摂動論を用いて、定常多様体上での有効ダイナミクスを導出する。
• 射影技法とフーリエモード展開を用いて、不純度の存在下での経験的測度のドリフトを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限サイズの Kuramoto システムの長時間挙動を決定づける要因として、不純度と熱的ノイズはどのように競合するか？
• RQ2 経験的測度において、不純度由来のフラクチュエーションが熱的ノイズを上回る時間スケールは何か？
• RQ3 外部駆動がない状況下でも、不純度そのものが経験的測度に進行波を誘発できるか？
• RQ4 クエンチド周波数分布の非対称性は、得られる進行波の方向および速度にどのように影響を与えるか？
• RQ5 弱不純度の極限における進行波のドリフトの漸近的挙動は何か？

主な発見

• √N 時間スケールにおいて、クエンチド不純度のフラクチュエーションが熱的ノイズを上回り、経験的測度に持続的なドリフトを引き起こす。
• 不純度由来の進行波は、同期化定常プロファイルの安定多様体に沿って出現し、波の速度および方向は周波数分布の非対称性に依存する。
• 進行波のドリフトは、周波数不純度の一次モーメントに漸近的に比例し、微小不純度の極限において一次近似の式が得られる。
• 系は、平均場近似が定常的であるのにもかかわらず、経験的測度が不純度により一様に回転する非自明な長時間ダイナミクスを示す。
• Balmforth と Sassi (2002) が数値的に観測した不純度由来の回転現象を、本分析が厳密に裏付けている。
• 不純度に起因する Fokker-Planck 演算子の摂動が、射影されたダイナミクスに非ゼロのドリフトを引き起こすことが、スペクトル的および関数解析的手法によって確認された。