[論文レビュー] Long time dynamics for the one dimensional non linear Schrödinger equation

Nicolas Burq, Laurent Thomann+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、調和ポテンシャルを伴う1次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対してギブス測度を構成し、その測度が方程式のフローに関して不変であることを証明するとともに、これらの測度の統計的台に含まれる粗い初期データに対する$L^2$-臨界および超臨界NLSのグローバルな適切性と散乱を確立する。解析は確率論的手法と決定論的PDE技法を組み合わせ、確率的レベルでの正則性向上を達成し、決定論的手法では失敗する領域においても適切性を可能にする。

ABSTRACT

In this article, we first present the construction of Gibbs measures associated to nonlinear Schrödinger equations with harmonic potential. Then we show that the corresponding Cauchy problem is globally well-posed for rough initial conditions in a statistical set (the support of the measures). Finally, we prove that the Gibbs measures are indeed invariant by the flow of the equation. As a byproduct of our analysis, we give a global well-posedness and scattering result for the $L^2$ critical and super-critical NLS (without harmonic potential).

研究の動機と目的

• 調和ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に関連するギブス測度を構成すること、特に低正則性の初期データに対して。
• これらのギブス測度がNLSのフローに関して不変であることを証明し、低正則性解を伴う非線形PDEに対する統計的平衡の概念を拡張すること。
• $\mathbb{R}$上での$L^2$-臨界および超臨界NLSについて、調和ポテンシャルの有無に関わらず、決定論的正則性閾値未満の初期データに対してグローバルな適切性と散乱を確立すること。
• シュレーディンガー伝搬作用素における正則性向上の欠如を補うために、$L^p$正則性における確率的向上を導入し、低正則性における解析を可能にすること。

提案手法

• 調和オシレーターの離散スペクトルを活用して有限次元近似を定義するLebowitz-Rose-Speer形式を用いてギブス測度を構成する。
• 確率論的手法を用いて、シュレーディンガー伝搬作用素における微分の正則性向上が欠如している状況を補うために、確率的レベルでの$L^p$正則性向上を導出する。
• 特に標準的な$L^p$推定の範囲外の高次非線形項を制御するため、確率的レベルでの双線形解析を適用する。
• エルミート関数$h_n(x)$を用いたスペクトル分解を行い、係数$c_p$の組み合わせ的および漸近的解析を通じて、積$h_n h_m$の$L^2$ノルムを推定する。
• $H^{\theta/2}$作用素を双線形項$u_N u_M$に作用させ、独立なガウス係数$g_n$のモーメント推定とコーシー・シュワルツ不等式を用いて、$L^2(\mathbb{R} \times \Omega)$ノルムを制御する。
• dyadic周波数ブロックへの和分と$\varepsilon$-正則化を用いて収束を保証することで、$J(t,x,\omega) = \left| \sum_{M,N} H^{\theta/2}(u_N u_M) \right|$の$L^2$ノルムの有限性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和ポテンシャルを伴う1次元NLSに対して、決定論的正則性閾値未満の初期データであっても、ギブス測度を厳密に構成できるか？
• RQ2 得られたギブス測度はNLSのフローに関して不変であり、その不変性は力学の統計的平衡を示唆するか？
• RQ3 $\mathbb{R}$上での$L^2$-臨界および超臨界NLSについて、初期データが低正則性であっても、確率論的手法のみを用いてグローバルな適切性と散乱を確立できるか？
• RQ4 シュレーディンガー伝搬作用素における微分の正則性向上が欠如している状況を補うために、$L^p$正則性における確率的向上が有効であるか、低正則性における解析を可能にするか？

主な発見

• 著者らは、調和ポテンシャルを伴う立方体焦点型および任意の非焦点型NLSに対して、低正則性の関数に台を持つギブス測度を構成した。
• 構成されたギブス測度はNLSのフローに関して不変であり、力学の統計的平衡を提供する。
• $\mathbb{R}$上での$L^2$-臨界および超臨界NLSについて、調和ポテンシャルが存在しない場合、ギブス測度の台に含まれる初期データに対してグローバルな適切性と散乱が確立された。
• $L^p$正則性における確率的向上が同定され、非線形項の制御に用いられ、決定論的手法が失敗する低正則性領域における解析を可能にした。
• dyadic周波数ブロックへの慎重な和分とガウス係数のモーメント推定を通じて、双線形表現$J(t,x,\omega)$の$L^2(\mathbb{R} \times \Omega)$ノルムが有限であることが示された。
• 解析により、必要な正則性向上が、$\theta < 1/2$に対して有効な双線形確率的推定を通じて達成され、臨界範囲における級数の収束が保証された。