[論文レビュー] Long-time dynamics in quantum spin lattices: ergodicity and hydrodynamic projections at all frequencies and wavelengths

Dimitrios Ampelogiannis, Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2021

Quantum many-body systems被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、すべての周波数および波長において、量子スピン格子におけるエルゴドゥシティと流体力学的射影の間の厳密な関係を確立する。短距離相互作用系において、カオスとは無関係に、拡張性とほとんど everywhere でのエルゴドゥシティに基づいて、一般化された流体力学的射影形式を用いて、流体力学的モードが普遍的に出現することを証明する。結果は任意の次元における任意の波数ベクトルおよび周波数に対して有効である。

ABSTRACT

Obtaining rigorous and general results about the non-equilibrium dynamics of extended many-body systems is a difficult task. In quantum lattice models with short-range interactions, the Lieb-Robinson bound tells us that the spatial extent of operators grows at most linearly in time. But what happens within this light-cone? We discuss rigorous results on ergodicity and the emergence of the hydrodynamic scale, which establish fundamental principles at the root of non-equilibrium physics. One key idea of the present work is that general structures of hydrodynamics at the Euler scale follow independently from the details of the microscopic dynamics, and in particular do not necessitate chaos; they are consequences of "extensivity". Another crucial observation is that these apply at arbitrary frequencies and wavelengths. That is, long-time oscillatory behaviours can be reproduced from a natural extension of standard hydrodynamic notions, thus enlarging the hydrodynamic paradigm beyond the zero-frequency / infinite-wavelength point that it traditionally addresses.

研究の動機と目的

• 拡張量子系における非平衡ダイナミクスの基本的原則、特にエルゴドゥシティと流体力学的出現を確立すること。
• 流体力学的挙動がカオスからではなく、短距離量子格子モデルにおける拡張性とエルゴドゥシティから生じることを示すこと。
• ゼロ周波数／無限大波長の極限を超えて、振動的で有限周波数および有限波長のダイナミクスを含む、流体力学を一般化すること。
• 流体力学的モードを、$ m{k} $-拡張量に作用する $ f $-振動的ユニタリ演算子の核として、厳密に定義すること。
• これらの結果が、短距離ハイパーキューブ量子格子において、ほとんどすべての時空線速度 $ v $ に対して普遍的に成り立つことを証明すること。

提案手法

• $ C^* $-代数的定式化を用いてエルゴドゥシティを分析し、ボルツマンの量子エルゴドゥシティ定理を多体系に拡張する。
• 局所的可観測量の時間エルゴドゥシティと局所的摂動下でのKMS状態の安定性を示すために、「非局在化条件」を導入する。
• 「ほとんど everywhere でのエルゴドゥシティ」を適用し、ほとんどすべての時空線に沿った無限時間平均がフラクチュエートせず、恒等演算子に収束することを示す。
• 流体力学的モードを、$ m{k} $-拡張量に作用するユニタリ演算子の核として定義することで、流体力学的射影定理を導出する。
• 鞍点解析と振動的線形化されたユール流体力学を適用し、2点関数における長時間の振動的挙動を再現する。
• $ p > D $ の減衰を仮定することで、$ m{k} $-空間内積の収束を保証し、ヒルベルト空間の完備化を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的ダイナミクスを要件とせず、量子スピン格子においてエルゴドゥシティと流体力学的射影を厳密に確立できるか？
• RQ2 標準的なユールスケール極限を超えて、任意の周波数および波数において、流体力学的モードがどの程度出現するか？
• RQ3 時空線に沿った「ほとんど everywhere でのエルゴドゥシティ」の概念が、局所的可観測量における古典的挙動の出現にどのように寄与するか？
• RQ4 流体力学的モード空間の正確な数学的構造は何か？また、周波数および波数にどのように依存するか？
• RQ5 振動的流体力学的挙動は一般化された線形化されたユール方程式で捉えられ、既知の長時間ダイナミクスを再現できるか？

主な発見

• 短距離量子格子モデルにおいて、カオスや可積分性とは無関係に、拡張性に基づいて流体力学的射影が普遍的に出現する。
• ほとんどすべての時空線速度 $ v $ に対して、局所的可観測量の無限時間平均はフラクチュエートせず、恒等演算子に収束する。これは古典化を示唆する。
• 流体力学的モード空間は、$ m{k} $-拡張可観測量に作用する $ f $-振動的ユニタリ演算子の核として厳密に定義される。
• 振動的線形化されたユール方程式は、2点関数における長時間の振動的挙動を正確に再現でき、自由フェルミオン鎖の例で示された。
• $ m{k} $-空間内積 $ raket{A,B}_{m{k}} $ は $ m{k} $ に関して一様有界かつ連続であり、$ m{k} o 0 $ のとき $ raket{A,B}_{m{k}} o raket{A,B}_0 $ に収束する。これは $ p > D $ のクラスタリング仮定のもとで成立する。
• 証明は $ p $-クラスタリング（$ p > D $）に依存しており、格子体積上での $ (L+1)^{-D} $-正規化和の収束を保証し、熱力学的極限において誤差項が消える。