[論文レビュー] Long time dynamics near the symmetry breaking bifurcation for nonlinear Schrödinger/Gross-Pitaevskii Equations

Jeremy L. Marzuola, Michael I. Weinstein|ArXiv.org|Dec 9, 2009

Nonlinear Photonic Systems参考文献 30被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、対称的な二重井戸ポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー/グロス・ピタエフケィー方程式における対称性破れ分岐点付近の長時間ダイナミクスを調査する。有限次元ハミルトニアン還元を導出し、その位相空間を解析し、解が井戸間の質量輸送を周期的に行う動的挙動が、非常に長いが有限な時間スケールにわたり持続することを示すシャドーイング定理を証明する。最終的には、放射モードとの共鳴的結合がダイナミクスを破壊するまでに至る。

ABSTRACT

We consider a class nonlinear Schrödinger / Gross-Pitaevskii equations (NLS/GP) with a focusing (attractive) nonlinear potential and symmetric double well linear potential. NLS/GP plays a central role in the modeling of nonlinear optical and mean-field quantum many-body phenomena. It is known that there is a critical $L^2$ norm (optical power / particle number) at which there is a symmetry breaking bifurcation of the ground state. We study the rich dynamical behavior near the symmetry breaking point. The source of this behavior in the full Hamiltonian PDE is related to the dynamics of a finite-dimensional Hamiltonian reduction. We derive this reduction, analyze a part of its phase space and prove a {\it shadowing theorem} on the persistence of solutions, with oscillating mass-transport between wells, on very long, but finite, time scales within the full NLS/GP. The infinite time dynamics for NLS/GP are expected to depart, from the finite dimensional reduction, due to resonant coupling of discrete and continuum / radiation modes.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー/グロス・ピタエフケィー方程式に対称的二重井戸ポテンシャルを有する系における、対称性破れ分岐点付近の複雑なダイナミクス的挙動を理解すること。
• 有限次元ハミルトニアン還元が、完全な偏微分方程式系の長時間ダイナミクスをどのように捉えられるかを分析すること。
• 井戸間の質量振動を示す解が、非常に長いが有限な時間スケールにわたり持続する条件を確立すること。
• 完全な偏微分方程式において、離散モードと放射（連続スペクトル）との間の共鳴的結合によって生じる有限次元近似の崩壊を調査すること。

提案手法

• 線形シュレーディンガー作用素の基底状態および第一励起状態への射影によって、完全なNLS/GP偏微分方程式から有限次元ハミルトニアン還元を導出する。
• 還元されたハミルトニアン系の位相空間構造を解析し、特に分岐点付近での周期的軌道および振動的挙動に注目する。
• シャドーイング定理を適用し、完全な偏微分方程式の解が非常に長いが有限な時間間隔にわたり、有限次元還元系の軌道から大きく逸脱しないことを証明する。
• 波作用素理論から導かれる分散的推定およびストリコフ型不等式を用いて、解の放射（連続スペクトル）成分を制御する。
• スペクトル理論および歪み付きフーリエ基底を用いて、非線形束状態の周囲の線形化ダイナミクスを分析する。
• Sobolev空間上での波作用素の有界性を活用し、ポテンシャルの特異性および減衰を伴う非線形発展に対する推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なNLS/GP方程式の解は、対称性破れ分岐点付近で非常に長い時間スケールにわたりどのように振る舞うか？
• RQ2 完全な偏微分方程式のダイナミクスは、分岐点付近でどの程度有限次元ハミルトニアン系によって近似可能か？
• RQ3 放射モードとの共鳴的結合がダイナミクスを破壊するまでの、井戸間の質量輸送を示す解の寿命はどの程度か？
• RQ4 分散的およびストリコフ推定は、長時間発展における放射尾を制御するためにどのように寄与するか？
• RQ5 波作用素および歪み付きフーリエ基底は、線形化ダイナミクスの解析および非線形的持続性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 井戸間の質量振動を示す解は、有限次元ハミルトニアン還元が予測するように、非常に長いが有限な時間スケールにわたり持続する。
• 有限次元還元は、対称性破れ分岐点付近における本質的ダイナミクスを捉えており、粒子数が臨界閾値 $\mathcal{N}_{\text{cr}}$ を超えた場合の非対称状態の出現も含む。
• シャドーイング定理が確立され、完全な偏微分方程式の解が、逆数の摂動サイズの多項式に比例する時間にわたり、還元系の軌道から近くにとどまることを証明した。
• 有限次元近似の崩壊は、離散束状態と放射（連続）スペクトルとの間の共鳴的結合に起因し、これは還元によって捉えられていない。
• 分散的およびストリコフ推定に加え、$W^{k,p}$ 空間上での有界な波作用素を組み合わせることで、放射成分の制御が可能となり、長時間持続性の証明が可能となった。
• [9] で提示された形式的枠組みを用いて、δ関数特異性を有するポテンシャルに対しても解析を拡張でき、このフレームワークが特定の非滑らかなポテンシャルに対してもロバストであることが示された。