[論文レビュー] Long-time homogenization and asymptotic ballistic transport of classical waves

Antoine Benoît, Antoine Gloria|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、非周期的、ほぼ周期的、または確率的な対称楕円型係数に対して、形式的テイラー＝ブロッホ波の枠組みを構築し、均質化誤差と輸送特性を定量化するための拡張された正規化項を導入する。低エネルギーにおける漸近的球面的波動輸送を確立し、高次の均質化波方程式における長時間における鋭い均質化推定を提供する。

ABSTRACT

Consider an elliptic operator in divergence form with symmetric coefficients.If the diffusion coefficients are periodic, the Bloch theorem allows one to diagonalize the elliptic operator, which is key to the spectral properties of the elliptic operator and the usual starting point for the study of its long-time homogenization.When the coefficients are not periodic (say, quasi-periodic, almost periodic, or random with decaying correlations at infinity), the Bloch theorem does not hold and both the spectral properties and the long-time behavior of the associatedoperator are unclear.At low frequencies, we may however consider a formal Taylor expansion of Bloch waves (whether they exist or not) based on correctors in elliptic homogenization.The associated Taylor-Bloch waves diagonalize the elliptic operator up to an error term (an "eigendefect"), which we express with the help of a new family of extended correctors.We use the Taylor-Bloch waves with eigendefects to quantify the transport properties and homogenization error over large timesfor the wave equation in terms of the spatial growth of these extended correctors.On the one hand, this quantifies the validity of homogenization over large times (both for the standard homogenized equation and higher-order versions).On the other hand, this allows us to prove asymptotic ballistic transport of classical waves at low energies for almost periodic and random operators.

研究の動機と目的

• 非周期的係数（準周期的、ほぼ周期的、または確率的）を有する古典的波動方程式のスペクトル的および長時間的挙動の理解が不足していることに対処すること。
• 周期的媒体を超えたブロッホ波形式主義を拡張するために、楕円型正規化項に基づくブロッホ波のテイラー展開を導入すること。
• 空間的成長率に基づく拡張された正規化項を用いて、長時間にわたる均質化誤差と輸送特性を定量化すること。
• ほぼ周期的および確率的媒体における低エネルギーの古典的波動で、漸近的球面的輸送が成立することを証明すること。
• 長時間領域における正確な誤差推定を伴う、高次の均質化波方程式を確立すること。

提案手法

• 楕円型作用素の近似固有関数としてテイラー＝ブロッホ波を導入し、非周期性に起因する固有値誤差項を生じさせる。
• 固有値誤差を表現するために、新たな拡張された正規化項の族を定義し、波動方程式における近似誤差の制御を可能にする。
• テイラー＝ブロッホ展開を用いて波動方程式の近似解を構築し、拡張された正規化項の空間的成長を用いて誤差境界を導出する。
• 高次の均質化波方程式にこの手法を適用し、長時間において $\varepsilon^2$ の誤差項まで収束することを証明する。
• 定量的エルゴード性の仮定（ほぼ周期的場では $\rho_*$、ガウス確率的場では対数ソボレフ不等式）を用いて、正規化項の成長を制限する。
• 周期的、準周期的、ほぼ周期的、相関が減少する確率的構造の異なる係数構造の下で、拡張された正規化項のモーメント推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロッホ波形式主義は、ほぼ周期的または確率的係数場のような非周期的媒体へ拡張可能か？
• RQ2 拡張された正規化項を用いて、テイラー＝ブロッホ近似における固有値誤差をどのように定量化し制御できるか？
• RQ3 非周期的係数を有する波動方程式における長時間における均質化誤差の境界は何か？
• RQ4 どのような条件下で、非周期的媒体における古典的波動で漸近的球面的輸送が出現するか？
• RQ5 高次の均質化波方程式は、長時間にわたる元の波動解の近似をどのように改善するか？

主な発見

• ほぼ周期的係数で $\rho_*(\boldsymbol{a}, R) \leq K R^{-\delta}$ を満たす場合、拡張された正規化項は $\nu_{\delta,j}(|x|)$ と成長し、$\nu_{\delta,j}(t)$ は $j$ と $\delta$ に応じて $1$、$\log(2+t)^{1/2}$、または $t^{j-\delta}$ で定義される区分的関数である。
• 相関が $|c(x)| \lesssim (1+|x|)^{-\beta}$ のように減少するガウス確率的係数では、拡張された正規化項の $L^2$-モーメントは、$d$、$j$、$\beta$ に応じて $1$、$\log^{1/2}(2+|x|)$、$\log(2+|x|)$、または $1+|x|^{1-\beta/(2j)}$ と成長する。
• 波動方程式の均質化誤差は、拡張された正規化項の空間的成長によって定量化され、高次の均質化方程式では誤差境界が $\varepsilon^2$ まで可能である。
• 上記のエルゴード性および減少仮定の下で、ほぼ周期的および確率的媒体における低エネルギーの古典的波動で、漸近的球面的輸送が証明された。
• この手法により、周期的でない媒体における長時間における均質化の厳密な正当化が得られ、古典的結果を周期的設定を超えて拡張する。
• この枠組みは、時刻に局在するおよび時刻依存の源項に対しても適用可能であり、波動方程式の系への拡張も可能である。