[論文レビュー] Long-time instability and unbounded Sobolev orbits for some periodic nonlinear Schrödinger equations

Zaher Hani|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス上におけるハミルトニアン型立方非線形シュレーディンガー方程式の族に対して、有界でないソボレフノルム軌道の存在を確立する。特に、共振型立方NLS（最初のビrkhoff正規形）を含む。長時間の強い不安定性という概念を導入し、共振玩具モデルを用いて周波数空間における解を構成することで、ソボレフノルムが時間とともに無限大に発散することを証明し、ハミルトニアンPDE分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study the energy cascade problematic for some nonlinear Schrödinger equations on the torus $\T^2$ in terms of the growth of Sobolev norms. We define the notion of long-time strong instability and establish its connection to the existence of unbounded Sobolev orbits. This connection is then explored for a family of cubic Schrödinger nonlinearities that are equal or closely related to the standard polynomial one $|u|^2u$. Most notably, we prove the existence of unbounded Sobolev orbits for a family of Hamiltonian cubic nonlinearities that includes the resonant cubic NLS equation (a.k.a. the first Birkhoff normal form).

研究の動機と目的

• 周期的立方非線形シュレーディンガー方程式のグローバル解が、$ s>1 $ において有界でないソボレフノルムを示すことができるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 長時間の強い不安定性と有界でないソボレフ軌道の存在との間の関係を確立すること。
• ハミルトニアン型立方非線形性の族（特に、共振型立方NLS：最初のビrkhoff正規形）に対して、このような有界でない増大が成立することを示すこと。
• 周波数空間ダイナミクスと共振相互作用を用いて、任意に大きなソボレフノルムを持つ明示的な解を構成すること。

提案手法

• 有界でないソボレフ増大のメカニズムとして、長時間の強い不安定性という概念を導入する。
• 問題を周波数支持が特定の集合 $Ω$ 上にある有限次元の共振玩具系（NNLS2）に還元する。
• 8つの構造的性質（IΩ から VIIIΩ まで）を満たす周波数集合 $Ω$ を構成する。これには、共振平行四辺形構造とスペクトル分離が含まれる。
• 周波数相互作用における算術的制約とピーコン原理を用いて、周波数不一致が小さい共振四重項の数を制御する。
• スケーリング議論を用いて、玩具系の解を、初期および最終のソボレフノルムが所定のものとなるように、元のNLS方程式の解にスケーリング変換する。
• ビrkhoff正規形と周波数局在化に基づく摂動的議論を用いて、解が共振ダイナミクスから逸脱しないように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元周期的立方非線形シュレーディンガー方程式のグローバル解は、$ s>1 $ に対して有界でないソボレフノルムを示すことができるか？
• RQ2 長時間の強い不安定性は、有界でないソボレフ軌道の存在を保証する十分条件であるか？
• RQ3 共振型立方NLS（最初のビrkhoff正規形）は、有界でない $ H^s $ ノルムの解をもつのか？
• RQ4 エネルギーキャスケード現象は、ハミルトニアンPDEにおける有界でないソボレフ増大を用いて厳密に確立できるか？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{T}^2$ 上のハミルトニアン型立方非線形性の族に対して、有界でないソボレフ軌道の存在を証明する。特に、共振型立方NLS方程式を含む。
• 長時間の強い不安定性が有界でないソボレフ軌道の存在を示すことを確立し、エネルギーキャスケードのための新たなメカニズムを提供する。
• 周波数支持が8つの構造的性質（スペクトル分離、平行四辺形の閉包性など）を満たす集合 $\Lambda$ 上にある共振玩具モデルを用いて、解を明示的に構成する。
• 構成された解は、$\|a_n(0)\|_{h^s} \sim \delta$ および $\|a_n(\lambda^2 T)\|_{h^s} \gtrsim \frac{K}{\delta} \|a_n(0)\|_{h^s}$ を満たし、任意に大きな増大を示す。
• 増大比 $Q \gtrsim K/\delta$ は、$K$ を大きくし $\delta$ を小さくすることで、任意に大きくできるため、極限において有界でないことが確認される。
• 結果は $s>0$、$s \neq 1$ に対して成り立ち、2次元座標への制限を用いて高次元へ拡張可能である。