[論文レビュー] Long wavelength solitary waves in Hertzian chains

Michelle Przedborski, Stephen C. Anco|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 1

ひとこと要約

本稿は連続体モデルを用いて、予圧縮されたヘルツ的鎖の長波長ソリタリーパルスを分析し、波速と漸近的振幅で波をパラメータ化する。波速と音速の比が力学的非線形性を決定することを確立し、弱く圧縮された系では高超音速波が高非線形パルスに対応し、強く圧縮された系ではわずかに超音速の波が弱非線形パルスに対応することを示し、両非線形領域における波の高さ、幅、運動量、エネルギーの明示的公式を導出する。

ABSTRACT

Properties of solitary waves in pre-compressed Hertzian chains of particles are studied in the long wavelength limit using a well-known continuum model. Several main results are obtained by parameterizing the solitary waves in terms of their wave speed and their asymptotic amplitude. First, the asymptotic amplitude is shown to be directly related to the continuum sound speed, and the ratio of asymptotic amplitude to peak amplitude is shown to describe the degree of dynamical nonlinearity in the underlying discrete system. Second, an algebraic relation is derived that determines the dynamical nonlinearity ratio in terms of the ratio of the solitary wave speed to the sound speed. In particular, highly supersonic solitary waves correspond to highly nonlinear propagating pulses in weakly compressed systems, and slightly supersonic solitary waves correspond to weakly nonlinear propagating pulses in strongly compressed systems. Third, explicit formulas for the physical height, width, impulse and energy of the solitary waves are obtained in both the strongly nonlinear regime and the weakly nonlinear regime. Asymptotic expansions are used to show that in the strongly nonlinear regime, solitary waves are well-approximated by Nesterenko's compacton (having the same wave speed), while in the weakly nonlinear regime, solitary waves coincide with solitons of the Korteweg-de Vries (KdV) equation, with the same wave speed. All of these results are illustrated by means of exact solitary wave solutions, including the physically important case that models a chain of spherical particles.

研究の動機と目的

• 長波長近似下での予圧縮ヘルツ的鎖内における長波長ソリタリーパルスの挙動を理解すること。
• ソリタリーパルスの漸近的振幅を連続体音速に関連づけ、力学的非線形性を定量化すること。
• 波速と非線形性比の間の代数的関係を導出し、波動伝播の物理的領域を明確にすること。
• 強非線形および弱非線形領域における波の高さ、幅、運動量、エネルギーの明示的表現を提供すること。
• 強非線形極限において、ソリタリーパルスがネステルェンのコンパクトンに近似されること、弱非線形極限においてはKdVソリトンと一致することを示し、両者ともに同一の波速を持つこと。

提案手法

• 波の動的特性を分析するため、波速と漸近的振幅でソリタリーパルスをパラメータ化する。
• 離散的ヘルツ的鎖から導出された連続体モデルを用い、長波長極限における波動伝播を記述する。
• 波速と音速の比と力学的非線形性比との間の代数的関係を導出する。
• 漸近展開を適用し、強非線形領域においてソリタリーパルスがネステルェンのコンパクトン解に収束することを示す。
• 弱非線形領域において、ソリタリーパルスがKorteweg-de Vries (KdV) 方程式のソリトン解と一致することを示す。
• 両非線形領域にわたって有効な物理的波特性（高さ、幅、運動量、エネルギー）の正確な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルツ的鎖において、ソリタリーパルスの漸近的振幅は連続体音速とどのように関係するか？
• RQ2 システムにおける波速と力学的非線形性の度合いとの間の関数的関係は何か？
• RQ3 強非線形領域におけるソリタリーパルスは、ネステルェンのコンパクトン解とどのように比較できるか？
• RQ4 弱非線形領域におけるソリタリーパルスは、KdV方程式の解とどのような関係にあるか？
• RQ5 異なる非線形領域におけるソリタリーパルスの物理的特性（高さ、幅、運動量、エネルギー）の正確な式は何か？

主な発見

• ソリタリーパルスの漸近的振幅は連続体音速に比例し、波形と系の剛性の間の根本的関係を確立する。
• 漸近的振幅とピーク振幅の比は、離散系における力学的非線形性の度合いを定量化する。
• 波速と音速の比が力学的非線形性比を完全に決定することを示す代数的関係を導出する。
• 高超音速のソリタリーパルスは弱く圧縮された系における高非線形パルスに対応し、わずかに超音速の波は強く圧縮された弱非線形系に由来する。
• 強非線形領域において、ソリタリーパルスは同一の波速を持つネステルェンのコンパクトンによりよく近似され、そのコンパクトサポート特性が確認される。
• 弱非線形領域において、ソリタリーパルスは正確にKdVソリトンと一致し、同一の波速とソリトンプロファイルを持つことから、この極限におけるKdV近似の妥当性が裏付けられる。