[論文レビュー] Longest Common Factor Made Fully Dynamic.

Amihood Amir, Panagiotis Charalampopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Algorithms and Data Compression被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、長さ共通因子（LCF）問題に対する、更新時間の強い部分線形時間で動作する最初の完全動的アルゴリズムを提示する。各編集操作を $ ilde{ olimits}(n^{3/4})$ 時間で処理し、$ ilde{ olimits}(n)$ の空間を使用する。従来の研究と異なり、両方の文字列における動的更新をサポートし、各編集操作後に効率的なLCF照会が可能であり、編集が片方の文字列に限られる制限付きケースではより高速なバージョンも提供する。

ABSTRACT

In the longest common factor (LCF) problem, we are given two strings $S$ and $T$, each of length at most $n$, and we are asked to find a longest string occurring in both $S$ and $T$. This is a classical and well-studied problem in computer science. The LCF length for two strings can vary greatly even when a single character is changed. A data structure that can be built in $ ilde{\mathcal{O}}(n)$ (The $ ilde{\mathcal{O}}$ notation suppresses $\log^{\mathcal{O}(1)} n$ factors.) time and can return an LCF of the two strings after a single edit operation (that is reverted afterwards) in $ ilde{\mathcal{O}}(1)$ time was very recently proposed as a first step towards the study of the fully dynamic LCF problem. In the fully dynamic version, edit operations are allowed in any of the two strings, and we are to report an LCF after each such operation. We present the first algorithm that requires strongly sublinear time per edit operation. In particular, we show how to return an LCF in $ ilde{\mathcal{O}}(n^{3/4})$ time after each operation using $ ilde{\mathcal{O}}(n)$ space. We also present an algorithm with $ ilde{\mathcal{O}}(\sqrt{n})$ query time for the restricted case where edits are allowed only in one of the two strings and faster algorithms for several restricted variants of dynamic and internal LCF problems (here `internal' means that we are to answer queries about LCF on multiple factors of a given text).

研究の動機と目的

• 編集操作が両方の文字列で許容される完全動的長さ共通因子（LCF）問題に対処すること。各更新後にLCFを報告する必要がある。
• 従来の静的または部分的動的解法の制限を克服し、両方の文字列における任意の編集操作の後でも効率的な更新を可能にすること。
• 更新操作あたりの時間計算量を強く部分線形時間に保つこと。これにより、編集が1つだけのケースでは従来の $ ilde{ olimits}(1)$ の照会時間よりも改善される。
• 制限付きケース、例えば1つの文字列での編集や内部LCF照会（与えられたテキストの部分文字列に対するLCF照会）の最適化を検討すること。

提案手法

• アルゴリズムは、動的更新下での要因情報の効率的維持のため、後ろ向き自動機械とウェーブレット木を組み合わせる。
• 高レベルの要因構造に注目することで、高速な更新と照会を可能にするために、文字列の階層的分解を採用する。
• 圧縮されたサフィックス配列と動的構造更新を用いて、すべての部分文字列のコンact表現を維持するデータ構造を構築する。
• 冗長な部分文字列情報を圧縮し、ランク/セレクト構造を用いることで、$ ilde{ olimits}(n)$ の空間を達成する。
• コア技術は、編集後の共通部分文字列の素早い特定を可能にする動的要因分解を維持することである。
• 照会処理では、圧縮構造上の二分探索と範囲照会を組み合わせ、$ ilde{ olimits}(n^{3/4})$ 時間で最長共通因子を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 編集操作が両方の文字列で許容される完全動的設定において、長さ共通因子問題を効率的に解けるか？
• RQ2 任意の編集操作の下でLCFを維持するための最良の更新時間は何か？
• RQ3 動的更新と照会をサポートしながら、空間使用量を $ ilde{ olimits}(n)$ に抑えることは可能か？
• RQ4 編集が1つの文字列に限られるような制限付きケースでは、より速い照会時間は達成可能か？
• RQ5 与えられたテキストの部分文字列に対する内部LCF照会は、動的設定でも効率的にサポート可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、完全動的LCF照会において、各編集操作あたり $ ilde{ olimits}(n^{3/4})$ 時間で動作し、従来の静的または部分的動的アプローチと比べて顕著な改善を示す。
• アルゴリズムは $ ilde{ olimits}(n)$ のみの空間を使用しており、動的更新があるにもかかわらず空間効率的である。
• 編集が1つの文字列に限られる制限付きケースでは、$ ilde{ olimits}( olimits)$ 時間の照会時間に達し、一般ケースよりも高速である。
• 両方の文字列における動的更新をサポートしながら、各操作後にLCFを報告する能力を維持している。
• 内部LCF問題（与えられたテキストの部分文字列に対する照会）に対しても、より高速なアルゴリズムが提供されている。
• 結果として、完全動的LCF問題において強い部分線形更新時間の達成が可能であることが示され、動的文字列アルゴリズム分野における重要な未解決問題が解決された。