[論文レビュー] Longest Common Subsequences in Sets of Permutations

Paul Beame, Eric Blais+1 more|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、任意の定数 $ k \geq 3 $ に対して、$ n $ 個の要素上の $ k $ 個の順列における最長共通部分列（LCS）の長さが、漸近的に $ 32(kn)^{1/3} $ 未満に抑えられることを確立している。これは、従来知られていた下界 $ n^{1/3} $ が定数倍の意味でタイトであることを示している。この結果は、素数法によるモジュロ算術と、その法に基づく座標の辞書式順序付けから得られる三重項に由来する構成的代数的手法によって得られている。

ABSTRACT

The sequence a_1,...,a_m is a common subsequence in the set of permutations S = {p_1,...,p_k} on [n] if it is a subsequence of p_i(1),...,p_i(n) and p_j(1),...,p_j(n) for some distinct p_i, p_j in S. Recently, Beame and Huynh-Ngoc (2008) showed that when k>=3, every set of k permutations on [n] has a common subsequence of length at least n^{1/3}. We show that, surprisingly, this lower bound is asymptotically optimal for all constant values of k. Specifically, we show that for any k>=3 and n>=k^2 there exists a set of k permutations on [n] in which the longest common subsequence has length at most 32(kn)^{1/3}. The proof of the upper bound is constructive, and uses elementary algebraic techniques.

研究の動機と目的

• 任意の $ k $ 個の順列が $ n $ 個の要素上で定義されるとき、それらの最長共通部分列の長さ $ f_k(n) $ の漸近的挙動を特定すること。
• 既知の下界 $ f_k(n) \geq \lceil n^{1/3} \rceil $ と上界の間のギャップを、特に定数 $ k \geq 3 $ の場合に埋めること。
• $ k = n^{o(1)} $ の場合に $ f_k(n) $ が $ n^{1/2 - o(1)} $ のように増加するとする予想を、$ f_k(n) $ の増加が実際には $ n^{1/3} $ のオーダーに留まることを示して反証すること。
• 初等的な代数的技法とモジュロ算術を用いて、$ f_k(n) $ に対する構成的上界を提供すること。

提案手法

• 素数法 $ p \approx (nk)^{1/3} $ を用いて、三重座標 $ (x, y, z) $ から得られる辞書式順序に基づき、$ [n] $ 上の $ k $ 個の順列を定義する。
• 各要素に、$ x \in [s_1] $, $ y \in [s_2] $, $ z \in [s_3] $ を満たす一意な三重組 $ (x, y, z) $ を割り当てる。ここで $ s_1 = \lceil (n/k^2)^{1/3} \rceil $, $ s_2 = s_3 = (nk)^{1/3} $ である。
• 各 $ i \in [k] $ に対して、$ h_{3,i}(a) = i^2 x + 2i y + 2z \mod p $ の値が小さい順に要素を並べる順列 $ \pi_i $ を定義する。
• ベルトランの補題を用いて、$ p < 8(nk)^{1/3} $ であることを保証し、任意の共通部分列において、$ (h_{3,i}(a_t), h_{3,j}(a_t)) $ の異なるペアの数が $ 2p - 1 $ 未満に抑えられることを示す。
• 背理法を用いて、共通部分列内のインデックスにおいて、ペア $ (h_{3,i}(a_t), h_{3,j}(a_t)) $ が重複してはならないことを証明し、部分列長に対する $ 2p - 1 $ の上限を得る。
• 整数 $ s_1, s_2, s_3 $ から一般の場合への拡張のために、$ n $ を $ n' \leq 8n $ に拡張して座標を整数化し、漸近的境界を保ったままにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数 $ k \geq 3 $ に対して、$ f_k(n) $ の下界 $ n^{1/3} $ が漸近的にタイトであるか？
• RQ2 定数 $ k $ に対して、$ f_k(n) $ の上界を $ O((kn)^{1/3}) $ よりも改善できるか？
• RQ3 $ k = n^{o(1)} $ の場合に $ f_k(n) \geq n^{1/2 - o(1)} $ であるという予想は成り立つか、それともよりタイトな境界によって反証されるか？
• RQ4 $ k $ 個の順列の集合における共通部分列の最大長は何か？ また、それを明示的に構成できるか？

主な発見

• すべての $ k \geq 3 $ および $ n \geq k^2 $ に対して、$ [n] $ 上の $ k $ 個の順列の集合が存在し、それらの最長共通部分列の長さは $ 32(kn)^{1/3} $ 未満である。
• 上界 $ f_k(n) \leq 32(kn)^{1/3} $ は構成的であり、モジュロ算術と座標三重組の辞書式順序に基づいて導出されている。
• すべての定数 $ k \geq 3 $ に対して、$ f_k(n) = \Theta(n^{1/3}) $ は定数因子の意味でタイトであり、$ f_k(n) $ の漸近的挙動が解かれた。
• この結果により、$ k = n^{o(1)} $ の場合に $ f_k(n) \geq n^{1/2 - o(1)} $ であるという予想が反証され、代わりに $ f_k(n) $ は $ n^{1/3} $ のオーダーにしか増加しないことが示された。
• 構成では、$ p \approx (nk)^{1/3} $ の素数法を用い、$ p $ を法とする線形形式に基づいて順列を定義しており、これにより長い共通部分列が存在しないようにしている。
• 証明は、任意の共通部分列が、モジュロ値のペアを繰り返す必要があること、しかし線形形式の構造とモジュロ算術における三角不等式によりそれが不可能であることを示すことに依存している。