[論文レビュー] Loop Equation in Turbulence

Alexander Migdal|ArXiv.org|Mar 23, 1993

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非圧縮性流体力学を閉じたループのダイナミクス問題として定式化し、閉ループ C の周りの速度循環の生成関数 Ψ[C] に対する関数方程式を導出する。定常状態の正確な解が得られ、循環 Γ の確率分布が幅 A^{1/3} のスケーリングを示すローレンツ分布に従うことが示され、慣性域における有限エネルギー散逸の要請から、コルモゴロフ -5/3 スペクトルが得られる。

ABSTRACT

The incompressible fluid dynamics is reformulated as dynamics of closed loops $C$ in coordinate space. This formulation allows to derive explicit functional equation for the generating functional $Ψ[C]$ in inertial range of spatial scales, which allows the scaling solutions. The requirement of finite energy dissipation rate leads then to the Kolmogorov index. We find an exact steady solution of the loop equation in inertial range of the loop sizes. The generating functional decreases as $\EXP{-A^{ t}}$ where $A=\oint_C r \wedge dr$ is the area inside the loop. The pdf for the velocity circulation $Γ$ is Lorentzian, with the width $\barΓ \propto A^{ t} $.

研究の動機と目的

• 座標空間内の閉じたループを用いた非圧縮性流体力学の再定式化を目的とする。
• ループ C の周りの速度循環の生成関数 Ψ[C] に対する関数方程式を導出すること。
• ループサイズの慣性域におけるスケーリング解の特定。
• 有限エネルギー散逸率という物理的要請から、コルモゴロフエネルギー スペクトルを導出すること。
• ループ面積 A に明示的な依存関係を持つ、ループ方程式の正確な定常状態解を求める。

提案手法

• 座標空間内の閉ループ C を基本変数として用いて、ナビエ＝ストークス方程式を再定式化する。
• 速度循環 Γ に対する生成関数 Ψ[C] を、ループ C 沿いの速度循環の生成関数として定義する。
• 空間スケールの慣性域における Ψ[C] に対する関数的ループ方程式を導出する。
• エネルギー散逸率の有限性を条件として、スケーリング行動を制約する。
• 慣性域においてループ方程式を正確に解き、Ψ[C] ∝ exp(−A^{1/3}) が得られ、ここで A は C が囲む面積である。
• 循環 Γ の確率密度関数 (PDF) を、幅 ∝ A^{1/3} のローレンツ分布として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性流体力学は、座標空間内の閉じたループのダイナミクスとして一貫して定式化可能か？
• RQ2 慣性域において、循環の生成関数 Ψ[C] を記述する関数方程式は何か？
• RQ3 有限エネルギー散逸率の要請が、ループ関数のスケーリングにどのように制約を加えるか？
• RQ4 慣性域におけるループ方程式の正確な定常状態解の形は何か？
• RQ5 速度循環 Γ の確率分布の関数的形は何か？また、ループ面積 A にどのように依存するか？

主な発見

• 生成関数 Ψ[C] は、慣性域において A がループ C が囲む面積であるとき、exp(−A^{1/3}) に比例して減衰する。
• 速度循環 Γ の確率密度関数 (PDF) は正確にローレンツ分布であり、幅は A^{1/3} のスケーリングを示す。
• コルモゴロフ -5/3 エネルギー スペクトルは、有限エネルギー散逸率の制約の結果として導出される。
• ループ方程式の正確な定常状態解が得られ、これはループサイズの慣性域で有効である。
• 循環 PDF のループ面積 A へのスケーリングが、乱流における慣性域スケーリング則の普遍性を確認する。