[論文レビュー] Loop groups and twin buildings

Linus Kramer|ArXiv.org|Sep 19, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数および実数のローレンツ多項式環上のループ群およびカク＝ムーディ群に関連する二重ビルディングを構成し、アフィンカク＝ムーディ代数へのヴェロネーゼ埋め込みを用いてその解析を行う。同論文は、等長的埋め込みを通じてこれらのビルディングの位相的実現を確立し、特にループ空間のホモトピー的性質を用いてボット周期性の幾何的証明を提示する。具体的には、代数的ループ群 $\Omega_{\text{alg}}\mathrm{SU}(n)$ がコンパクトな空間上で推移的に作用し、商空間が $\mathrm{SU}(n)$ に同相であることを示し、K理論におけるボット周期性同型を回復する。

ABSTRACT

We describe some buildings related to complex Kac-Moody groups. First we describe the spherical building of SLn(C) (i.e. the projective geometry PG(Cn)) and its Veronese representation. Next we recall the construction of the affine building associated to a discrete valuation on the rational function field $C(z)$. Then we describe the same building in terms of complex Laurent polynomials, and introduce the Veronese representation, which is an equivariant embedding of the building into an affine Kac-Moody algebra. Next, we introduce topological twin buildings. These buildings can be used for a proof - which is a variant of the proof by Quillen and Mitchell - of Bott periodicity which uses only topological geometry. At the end we indicate very briefly that the whole process works also for affine real almost split Kac-Moody groups.

研究の動機と目的

• ループ群およびカク＝ムーディ群の幾何的枠組みを、二重ビルディングおよびヴェロネーゼ埋め込みを用いて構築すること。
• 複素数および実数のローレンツ多項式環のループに関連するビルディングの位相的実現を確立すること。
• 代数的ループ空間のホモトピー型およびその軌道空間を用いてボット周期性の幾何的証明を提供すること。
• トポロジカル幾何学および極座標表現を用いてクイレン＝ミッチェルのアプローチを拡張すること。
• 代数的ループ群がコンパクトな空間上で作用する軌道空間がユニタリ群に同相であることを示し、ボット周期性同型を回復すること。

提案手法

• $\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$ の球面ビルディングを射影幾何 $\mathrm{PG}(\mathbb{C}^n)$ として構成し、ヴェロネーゼ写像を用いてフラッグ多様体に埋め込む。
• 離散的価札を用いて $\mathbb{C}(z)$ 上のアフィンビルディングを定義し、複素数のローレンツ多項式環 $\mathbb{C}[z,z^{-1}]$ を用いてその実現を行う。
• ビルディングをアフィンカク＝ムーディ代数 $\mathfrak{X}$ に等長的ヴェロネーゼ埋め込みすることで、$L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ の作用を保存する。
• トポロジカル二重ビルディングを定義し、ループ空間およびそのホモトピー型をモデル化する幾何的道具として用いる。特にボット周期性の証明に特化する。
• $\mathcal{S}$ がコンパクトであるという普遍バンドル構造 $\Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n) \to \mathcal{S} \to \mathrm{SU}(n)$ を用い、ホモトピー同値を導出する。
• $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}[z,z^{-1}])$ がビルディングの実形式上で作用することを定義し、対応する対称空間 $\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SO}(n)$ のループ空間と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的価札およびローレンツ多項式環を用いて、$\mathbb{C}(z)$ および $\mathbb{R}(z)$ 上のループ群のための二重ビルディングをどのように構成できるか？
• RQ2 ヴェロネーゼ表現は、ビルディングをアフィンカク＝ムーディ代数に埋め込み、群作用を保存するために果たす役割は何か？
• RQ3 トポロジカル二重ビルディングは、スペクトル系列に依存せずにボット周期性の幾何的証明をどのように容易にするか？
• RQ4 軌道空間 $|\Delta^+(\mathbb{A}^n)|_{\mathrm{Knarr}} / \Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ のホモトピー的意義は何か？
• RQ5 ループ群の実形式は、コンパクトな対称空間のループ空間とどのように関係し、実およびクaternion的ボット周期性の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 特別な経路の空間 $\mathcal{S}$ は、$|\Delta^+(\mathbb{A}^n)|_{\mathrm{Knarr}} \subseteq \mathfrak{X}$ に $L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$-等長的同相写像を介してコンパクトであることが示された。
• $\Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n) \to \Omega_{\mathrm{cts}}\mathrm{SU}(n)$ の包含写像は弱および強いホモトピー同値であるため、$\Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ は代数的ループ群の普遍分類空間であることが示された。
• 軌道空間 $|\Delta^+(\mathbb{A}^n)|_{\mathrm{Knarr}} / \Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ は $\mathrm{SU}(n)$ に同相であり、普遍バンドルの幾何的実現を提供する。
• $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{C}^{2k}) \to \Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(k)$ の包含写像は $2k$-同値であり、極限において $\mathrm{BU} \to \Omega_{\mathrm{cts}}\mathrm{SU}$ はホモトピー同値である。これによりボット周期性同型が回復される。
• 実形式 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}[z,z^{-1}]) \cap L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ は実二重ビルディング上で作用し、$\Omega_{\mathrm{cts}}(\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SO}(n))$ にホモトピー同値である。これにより実ボット周期性の証明が可能になる。
• ビルディング上の $W$-値距離関数 $\delta$ は適切に定義されており、部屋上での標準ティーツ距離に制限される。これによりビルディングの公理および幾何的構造が確認される。