[論文レビュー] Loop quantum gravity and the continuum

Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 52被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、空間定数がゼロである3次元ユークリッド型ループ量子重力と連続的量子場理論との間の直接的な関係を確立する。離散的な幾何的スピンスペクトル—通常はスピンネットワークに起因するとされる—が、三角形分割を用いずに、コンformal境界場理論を量子化することによって自然に生じることを示している。主な結果は、SU(2)スピンルーチェルがボリューム内のスピン接続に最小に結合されるロビン境界条件の下で、境界のコンformal場理論がゼロの中心電荷を持つことから、1次元境界断面の長さが離散スペクトルを持つことである。

ABSTRACT

In this paper, we will make an attempt to clarify the relation between three-dimensional euclidean loop quantum gravity with vanishing cosmological constant and quantum field theory in the continuum. We will argue, in particular, that in three spacetime dimensions the discrete spectra for the geometric boundary observables that we find in loop quantum gravity can be understood from the quantisation of a conformal boundary field theory in the continuum without ever introducing spin networks or triangulations of space. At a technical level, the starting point is the Hamiltonian formalism for general relativity in regions with boundaries at finite distance. At these finite boundaries, we choose specific Robin boundary conditions (the boundary is a minimal surface) that are derived from a boundary field theory for an SU(2) boundary spinor, which is minimally coupled to the spin connection in the bulk. The resulting boundary equations of motion define a conformal field theory with vanishing central charge. We will quantise this boundary field theory and show that the length of a one-dimensional cross section of the boundary has a discrete spectrum. In addition, we will introduce a new class of coherent states, study the quasi-local observables that generate the quasi-local Virasoro algebra and discuss some strategies to evaluate the partition function of the theory.

研究の動機と目的

• 3次元ユークリッド型ループ量子重力と連続的量子場理論との関係を明確化すること。
• スピンネットワークや空間的三角形分割に依存せずに、幾何的観測量の離散スペクトルがコンformal境界場理論からどのように生じるかを示すこと。
• SU(2)境界スピンルーチェルがボリューム内のスピン接続に最小に結合されるもとで、ロビン境界条件を導出し、分析すること。
• その結果得られる境界理論が、中心電荷がゼロであるコンフォーマル場理論であることを示すこと。
• 協調状態を構成し、局所的Virasoro代数を生成する準局所的観測量を分析すること。

提案手法

• ハミルトニアン形式を用いて、有限境界を持つ領域における一般相対性理論を定式化すること。
• ボリューム内のスピン接続に最小に結合されたSU(2)境界スピンルーチェルから導かれるロビン境界条件を課すこと。
• 境界の運動方程式が中心電荷がゼロのコンフォーマル場理論を導くことを示すこと。
• その結果得られる境界コンフォーマル場理論を量子化し、1次元境界長さのスペクトルを導出すること。
• 半古典的境界幾何を記述するための新しいクラスの協調状態を導入すること。
• 準局所的Virasoro代数を生成する準局所的観測量を分析し、パーティション関数の評価戦略を検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ループ量子重力における幾何的観測量の離散スペクトルは、スピンネットワークや三角形分割を用いずにどのように理解できるか？
• RQ2 ロビン境界条件は、ボリューム内の重力とコンフォーマル境界場理論を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 中心電荷がゼロである連続的コンフォーマル場理論から、境界長さ観測量の離散スペクトルが生じるか？
• RQ4 この枠組みにおける協調状態は、半古典的境界幾何とどのように関係するか？
• RQ5 境界観測量が生成する準局所的Virasoro代数の構造は何か？ そして、それはパーティション関数にどのように寄与するか？

主な発見

• 境界の1次元断面の長さは、境界上でのコンフォーマル場理論の量子化から生じる離散スペクトルを持つ。
• 境界理論は、ボリューム内のスピン接続へのSU(2)スピンルーチェルの結合から導かれる、中心電荷がゼロのコンフォーマル場理論である。
• ロビン境界条件—最小曲面に対応する—は境界場理論から導かれ、コンフォーマル構造をもたらす。
• 境界幾何の半古典的記述を提供する協調状態が導入された。
• 準局所的観測量は準局所的Virasoro代数を生成し、境界力学の背後にある深い代数的構造を示している。
• この枠組みは、境界コンフォーマル場理論を介して理論のパーティション関数を評価する戦略を提供する。