[論文レビュー] Lorentz and SU(3) groups derived from cubic quark algebra

Richard Kerner|ArXiv.org|Jan 26, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、標準的でない交換関係を有するクォークのZ₃-符号付き3次代数から、ローレンツ群およびSU(3)群を導出する。3次反交換関係（j = e^{iπ/3}を用い）およびZ₃-符号付き3形式における共変性原理が、SU(3)の基本表現および随伴表現、およびローレンツ群のスピノル・ベクトル表現を生じさせる。主な結果は、時空の前提を仮定せず、クォークレベルの非可換構造から時空対称性が代数的に導かれる点である。

ABSTRACT

We show that the Lorentz and the SU(3) groups can be derived from the covariance principle conserving a $Z_3$-graded three-form on a $Z_3$-graded cubic algebra representing quarks endowed with non-standard commutation laws.

研究の動機と目的

• 時空を事前に仮定せず、クォークの基本的代数的構造からローレンツおよびSU(3)のような時空対称性を導出すること。
• クォークおよび反クォークを非標準的3次交換関係を有するZ₃-符号付き結合代数の要素として定式化すること。
• Z₃-符号付き3形式のこの代数上での共変性が、SU(3)の基本的および随伴表現、およびローレンツ群のスピノル・ベクトル表現を生成することを示すこと。
• ローレンツ群およびSU(3)群が、3次クォーク代数の代数的対称性の被覆群として生じるが、時空の基本的対称性ではないことを確立すること。

提案手法

• j = e^{iπ/3}を用い、立方反交換関係を満たすN個の生成子θᴬおよび共役生成子θ̄˙ᴬを導入し、Z₃-符号付き代数を構成する。
• θᴬを位相1、θ̄˙ᴬを位相2とし、θᴬθᴮθᶜのような積を位相0と定義。3次積は3次以上で恒等的に消える。
• 生成子の線形変換におけるZ₃-符号付き3形式の共変性を課し、立方行列K^Φ_abcの変換則を導出する。
• 変換行列S^Φ′_ΩをSU(3)の随伴表現とし、U^a′_bを基本的表現とし、位相因子j^kを除いて導出する。
• π^μ_A˙B行列を代数的構造から導出し、ミンコフスキー計量条件を満たすことで、ローレンツベクトルおよびスピノル表現を構成する。
• 3×3行列U^a′_bおよび8×8行列S^Φ′_Ωが、共変性条件の下でそれぞれSU(3)の基本的および随伴表現をなしていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空を仮定せず、クォーク間の代数的関係からローレンツ群を導出可能か？
• RQ2 非標準的交換則を有するZ₃-符号付き3次クォーク代数からSU(3)群が出現可能か？
• RQ3 Z₃-符号付き3形式の共変性が、SU(3)およびローレンツ群の表現をどのように生じさせるか？
• RQ4 立方根の1乗j = e^{iπ/3}が、クォークレベル代数から非アーベル的対称性を生成する役割を果たすか？
• RQ5 得られた表現が、SU(3)の標準的基底および随伴表現、およびローレンツ群のスピノル・ベクトル表現に対応するか？

主な発見

• ローレンツ群は、π^μ_A˙B行列の変換によってSL(2,C)のZ₃被覆として生じる。π^μ_A˙B行列はミンコフスキー計量条件π^μ_A˙B π^ν^A˙B = diag(+,-,-,-)を満たす。
• SU(3)群は3次3形式の共変性群として導出され、8×8行列S^Φ′_Ωが随伴表現、3×3行列U^a′_bが基本的表現をなす（位相因子j^kを除く）。
• 3次関係によって生成される代数は有限次元であり、次元はN + N² + (N³ - N)/3である。立方積は、立方根jのおかげで3次以上で恒等的に消える。
• 共変性条件の下で、3×3行列U^a′_bおよび8×8行列S^Φ′_Ωが、それぞれSU(3)の基本的および随伴表現をなしていることが示された。
• 独立な9個の2形式P^i_a˙B = -j² P̄^i_˙Baは、SU(3)の3⊗3̄表現として変換し、群構造を確認した。
• 本稿では、この代数におけるクォークは標準的ディラック方程式を満たさない。代わりに、複素波数ベクトルの指数関数的解が得られ、それらは伝搬しないが、3次結合は結合条件下で実平面波として振る舞う。