[論文レビュー] Lorentz-Invariant Interpretation of Noncommutative Space-Time - global version

Piotr Kosiński, Paweł Maślanka|ArXiv.org|Aug 12, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非可換時空間の共鳴関係 $[x_\mu, x_\nu] = i\Theta_{\mu\nu}$ で定義される非可換時空間における、ねじれPoincaré量子群対称性のグローバル版を構築する。$5\times5$ 行列によるPoincaré変換の表現とアーベル的ねじれ $F = \exp(\frac{i}{2}\Theta^{\mu\nu}P_\mu \otimes P_\nu)$ を用いて、ローレンツ不変性を変形された意味で保つ $*$-ホップ代数構造を導出し、非可換ミンコフスキー時空間上での共変な力学を可能にする。

ABSTRACT

The global version of the quantum symmetry defined by Chaichian et al (hep-th/0408069) is constructed.

研究の動機と目的

• 非可換時空間におけるローレンツ対称性の破れと、非可換量子場理論における完全なPoincaré群表現との間の矛盾を解消すること。
• Chaichian らが提案したねじれPoincaré代数としての量子対称性のグローバル実現を構築すること。
• 非可換ミンコフスキー時空間上で作用する量子Poincaré群の整合的な $*$-ホップ代数構造を定義すること。
• 量子群表現理論を通じて、非可換時空間上でのローレンツ不変な力学の定式化を可能にすること。
• 古典的対称性が破れている場合でも、量子群対称性によって変形された意味で完全な古典的対称性が回復できることを示すこと。

提案手法

• ローレンツ変換 $\Lambda^\mu_\nu$ と平行移動 $a^\mu$ を符号化する $5\times5$ 行列 $T^a_b$ を用いてPoincaré群を表現する。
• 量子群の代数的基盤として、コプロダクト $\Delta T^a_b = T^a_c \otimes T^c_b$ を定義する。
• FRT関係 $RTT = TTR$ を用い、ねじれ $F = \exp(\frac{i}{2}\Theta^{\mu\nu}P_\mu \otimes P_\nu)$ から導かれる普遍 $R$-行列を用いる。
• 量子群の関係を導出する：$\Delta\Lambda^\mu_\nu = \Lambda^\mu_\alpha \otimes \Lambda^\alpha_\nu$、$\Delta a^\mu = \Lambda^\mu_\alpha \otimes a^\alpha + a^\mu \otimes 1$、および非自明な交換関係 $[a^\mu, a^\nu] = -i\Theta^{\rho\sigma}(\Lambda^\mu_\rho \Lambda^\nu_\sigma - \delta^\mu_\rho \delta^\nu_\sigma)$。
• 余単位元 $\varepsilon$、反対体 $S$、$*$-対合：$(a^\mu)^* = a^\mu$、$(\Lambda^\mu_\nu)^* = \Lambda^\mu_\nu$ を定義し、構造が $*$-ホップ代数であることを保証する。
• 非可換代数 $[x_\mu, x_\nu] = i\Theta_{\mu\nu}$ と整合性を持つように、コアクション $x^\mu \mapsto \Lambda^\mu_\nu \otimes x^\nu + a^\mu \otimes I$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空間 $[x_\mu, x_\nu] = i\Theta_{\mu\nu}$ に対して、ねじれPoincaré量子対称性のグローバル版を構築できるか？
• RQ2 $\Theta_{\mu\nu}$ によって古典的ローレンツ対称性が明示的に破れているにもかかわらず、結果として得られる量子群構造が変形された意味でローレンツ不変性を保存するか？
• RQ3 古典的に破壊されている場合でも、量子群枠組みにおいて完全なPoincaré群対称性をどのように回復できるか？
• RQ4 非可換ミンコフスキー時空間への量子群のコアクションを一貫して定義でき、代数的関係を保存することが示せるか？
• RQ5 得られた構造が、表現理論および微分計算を可能にする、well-defined な $*$-ホップ代数であるか？

主な発見

• 論文は、方程式 (7) および (8) で指定されたコプロダクト、余単位元、反対体、$*$-対合を用いて、量子Poincaré群のグローバル $*$-ホップ代数構造を構築した。
• 翻訳 $a^\mu$ は、非自明な交換関係 $[a^\mu, a^\nu] = -i\Theta^{\rho\sigma}(\Lambda^\mu_\rho \Lambda^\nu_\sigma - \delta^\mu_\rho \delta^\nu_\sigma)$ によって、古典的副代数構造が破れているため、副代数を形成しない。
• コアクション $x^\mu \mapsto \Lambda^\mu_\nu \otimes x^\nu + a^\mu \otimes I$ は、非可換代数関係 $[x_\mu, x_\nu] = i\Theta_{\mu\nu}$ と整合的であり、量子群作用による共変性を保証する。
• 普遍 $R$-行列はアーベル的ねじれ $F = \exp(\frac{i}{2}\Theta^{\mu\nu}P_\mu \otimes P_\nu)$ から導かれ、$R = F_{21}F^{-1}$ の形をとることで、量子群構造が確認される。
• 得られた量子対称性は、量子群およびその表現空間上の表現の分類と微分計算の構築を可能にする。これにより、不変な力学の構築に必要なツールが得られる。
• 著者らは、彼らの結果が以前に R. Oeckl によって2000年に得られていたことを指摘しているが、独立して得られ、ここではねじれPoincaré対称性のグローバル実現として提示されている。