[論文レビュー] Lorentz Ricci solitons on 3-dimensional Lie groups

Kensuke Onda|ArXiv.org|Jun 1, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、3次元ヘイゼンベルク群 $H_3$ 上の左不変 Lorentz計量 $g_1$ が、Levi-Civita接続とリッチテンソルの明示的計算を用いて、非勾配型の収縮型リッチソリトンとして特徴付けられる。さらに、平坦なユークリッド平面 $E(2)$ および平坦な Lorentz 平面 $E(1,1)$ の等長群に対しても、同様に収縮型非勾配型 Lorentz リッチソリトン構造が存在することを示し、アインシュタイン計量を超える Lorentz 幾何学における新しい例を提供する。

ABSTRACT

The three-dimensional Heisenberg group $H_3$ has three left-invariant Lorentz metrics $g_1$, $g_2$ and $g_3$. They are not isometric each other. In this paper, we characterize the left-invariant Lorentzian metric $g_1$ as a Lorentz Ricci soliton. This Ricci soliton $g_1$ is a shrinking non-gradient Ricci soliton. Likewise we prove that the isometry group of flat Euclid plane E(2) and the isometry group of flat Lorentz plane E(1,1) have Lorentz Ricci solitons.

研究の動機と目的

• 3次元リー群上における左不変 Lorentz リッチソリトンを特定・特徴付けること、特にヘイゼンベルク群 $H_3$ を対象とする。
• $g_1$ がアインシュタインでないことを示し、リッチソリトン方程式を満たすが、$g_2$ や $g_3$ とは区別できることを証明すること。
• 平坦なユークリッド平面 $E(2)$ および平坦な Lorentz 平面 $E(1,1)$ の等長群に対し、同様の解析を拡張し、それらがリッチソリトン構造を有することを示すこと。
• リーマン幾何学とは対照的に、Lorentz 計量設定において非勾配型リッチソリトンが存在することを示すこと。

提案手法

• リー群上の左不変計量に対して、随伴作用および余随伴作用を用いて表現される Levi-Civita 接続の公式の使用: $\nabla_X Y = \frac{1}{2}\{[X,Y] - (\text{ad}X)'Y - (\text{ad}Y)'X\}$。
• 各計量に対して左不変なフレームおよびコフレームを構成し、座標に適合した基底で計量および曲率テンソルを表現すること。
• 接続係数から導かれるリーマン曲率テンソルを用いて、リッチ曲率テンソルを計算すること。
• $H_3$, $E(2)$, $E(1,1)$ 上の特定のベクトル場 $X$ に対して、リッチソリトン方程式 $2\text{Ric} + \mathcal{L}_X g - 4g = 0$ の検証を行うこと。
• ある $i,j$ に対して $\nabla_i X_j - \nabla_j X_i \neq 0$ を示すことにより、ベクトル場 $X$ が勾配場でない（非勾配型）ことを証明し、非勾配性を確認すること。
• 既知の結果（例えば、$g_2$ は定曲率 $-1/4$、$g_3$ は平坦）を用いて、ソリトン挙動の文脈を整理すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルク群 $H_3$ 上の左不変 Lorentz 計量 $g_1$ はリッチソリトン方程式を満たすか？ もしそうならば、どのようなタイプのソリトンであるか？
• RQ2 $g_1$ が非勾配型リッチソリトンである理由は何か？ これはリーマン幾何学における挙動とはどのように異なるか？
• RQ3 $E(2)$ および $E(1,1)$ の等長群は、左不変な Lorentz リッチソリトン構造を有するか？
• RQ4 ソリトン方程式におけるベクトル場 $X$ の幾何的意味は何か？ その非勾配性はなぜ重要か？
• RQ5 $H_3$ 上の $g_1$, $g_2$, $g_3$ の曲率特性は、それらのソリトン状態とどのように関係しているか？

主な発見

• $H_3$ 上の左不変 Lorentz 計量 $g_1$ は、特定のベクトル場 $X = 2(z\cos y + x\sin y)F_1 + 2(x\cos y - z\sin y)F_3$ を用いて、リッチソリトン方程式 $2\text{Ric} + \mathcal{L}_X g - 4g = 0$ を満たすことが確認され、収縮型リッチソリトンであることが特徴付けられる。
• $H_3$ 上のベクトル場 $X$ は勾配場でない。実際、$\nabla_1 X_2 - \nabla_2 X_1 = -4(-z\sin y + x\cos y) \neq 0$ であるため、非勾配型であることが証明される。
• $g_1$ はアインシュタインでない。リッチテンソルが計量に比例していないが、ソリトン方程式を満たす。
• $E(2)$ の平坦なユークリッド平面の等長群は、計量 $g_1 = -dz^2 + (e^z dx + e^{-z} dy)^2 + (e^z dx - e^{-z} dy)^2$ の下で、3パラメータ族のベクトル場 $X$ がソリトン方程式を満たすため、収縮型非勾配型 Lorentz リッチソリトン構造を有する。
• $E(1,1)$ の平坦な Lorentz 平面の等長群も、収縮型非勾配型 Lorentz リッチソリトンを有する。$g_1$ は一般のベクトル場 $X$（定数 $a$, $b$, $c$ を含む）に対して $2\text{Ric} + \mathcal{L}_X g - 4g = 0$ を満たし、$\nabla_3 X_2 - \nabla_2 X_3 \neq 0$ を通じて非勾配性が確認される。
• $E(1,1)$ 上の $g_1$ のリッチテンソルは $R_{33} = -2$ を除きすべてゼロであり、非アインシュタイン性が確認されるが、$X$ の特定の形のおかげでソリトン条件が満たされる。