[論文レビュー] Lorentz symmetry for 3d Quantum Cellular Automata

Alessandro Bisio, Giacomo Mauro D’Ariano+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、事前に存在する時空多様体を仮定せずに、3次元量子セルオートマトン（QCAs）におけるローレンツ対称性の群論的定義を提示する。非線形表現を通じてローレンツ共変性が出現し、ポincareおよびk-ポincareホップ代数を介して離散的ダイナミクスと相対論的対称性を結びつける。連続極限において、変形されたヘイゼンベルク交換関係と非可換時空が明らかになる。

ABSTRACT

We introduce a definition of Lorentz transformations in the framework of quantum cellular automata. Our definition does not require space-time, and retains the usual interpretation in the emergent one. The definition is group theoretical, with flatness of space-time corresponding to Abelianity of the cellular automaton group. We consider the covariance in the case of the Weyl automaton. The notion of particle as Poincar\'e irreducible representation survives at all scales. The interpolation of the Lorentz symmetry from the discrete to the continuum scale occurs through a nonlinear representation. We also discuss the connection of the nonlinear Lorentz transformations with the Poincar\'e and k-Poincar\'e Hopf algebra, the emerging non-commutative space-time, and the deformed Heisenberg commutation relations.

研究の動機と目的

• 事前に時空多様体を仮定せずに、量子セルオートマトンにおけるローレンツ変換を定義すること。
• Poincaré不変性などの相対論的対称性が、離散的かつ内在的なセルオートマトンのダイナミクスからどのように出現するかを確立すること。
• 特にアーベル型と非アーベル型の群構造が、出現する時空の平坦性または曲率を決定する役割を解明すること。
• 非線形実現されたローレンツ対称性と、Poincaréおよびk-ポincareホップ代数のような代数的構造との関係を結ぶこと。
• QCAsの連続極限において、非可換時空と変形されたヘイゼンベルク交換関係がどのように出現するかを調査すること。

提案手法

• 量子セルオートマトンの枠組み内で、群論を用いてローレンツ変換を形式化し、それらをオートマトン群の内在的対称性として扱う。
• 平坦な時空をアーベル的オートマトン群に対応させることで、幾何的平坦性と代数的構造の関連を明示する。
• Weylオートマトンを具体的な例として用い、提案された定義のもとでローレンツ共変性が成立することを示す。
• 非線形表現を用いて離散的スケールと連続的スケールの間を補間し、相対論的対称性の滑らかな出現を可能にする。
• 非線形ローレンツ変換をPoincaréおよびk-ポincareホップ代数に結びつけ、変形された相対論的対称性を記述する。
• オートマトンの代数的構造から、出現する非可換時空と変形されたヘイゼンベルク交換関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に存在する時空を仮定せずに、量子セルオートマトンにおけるローレンツ対称性をどのように内在的に定義できるか。
• RQ2 オートマトン群のアーベル的または非アーベル的性質が、出現する時空の幾何的性質をどのように決定するか。
• RQ3 非線形表現によるローレンツ変換が、QCAsにおける離散的ダイナミクスから連続的ダイナミクスへの移行をどのように媒介するか。
• RQ4 出現するローレンツ対称性とPoincaréまたはk-ポincareホップ代数との間の代数的関係は何か。
• RQ5 量子セルオートマトンの構造から、非可換時空と変形されたヘイゼンベルク交換関係がどのように出現するか。

主な発見

• 量子セルオートマトンにおけるローレンツ対称性は、背景時空を仮定せず、群論を用いて定義され、平坦な時空はアーベル的オートマトン群に対応する。
• Weylオートマトンは、提案された定義のもとでローレンツ共変性を示し、相対論的対称性が離散的ダイナミクスから出現しうることを実証する。
• 粒子の概念がPoincaréの既約表現としての性質をすべてのスケールで保つことから、離散的領域における相対論的構造の頑健性が示される。
• 離散的から連続的スケールへの補間は、ローレンツ群の非線形表現を通じて行われ、対称性の出現を可能にする。
• 非線形ローレンツ変換はk-ポincareホップ代数と関連しており、量子レベルでの相対論的対称性の変形を示唆する。
• この枠組みにより、連続極限において非可換時空と変形されたヘイゼンベルク交換関係が出現する。