[論文レビュー] Lorentzian Kleinian Groups

Thierry Barbot|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

このサーベイは、因果構造を組み込んだことにより、古典的ケイリーニアン群理論を拡張するため、反de Sitter空間（AdS）における等長群の離散部分群としてのローレンツ型ケイリーニアン群を導入する。因果的構造を尊重する「因果的でない部分群」— すなわち、因果的構造を保つ部分群—は、定義された限界集合と、見えない領域における正しく離散的な作用を有し、双曲幾何学をローレンツ的設定に一般化するとともに、グローバルにハイパーボリックな時空および2+1次元におけるタイヒミュラー理論と関連付ける。

ABSTRACT

Classical Kleinian groups are discrete subgroups of isometries of H n. The well-known theory of Kleinian groups starts with the definition of their associated limit set in the boundary of H n , and includes the geometric properties of the quotient hyperbolic space. This approach, naively applied, fails in the Lorentzian analogue anti-de Sitter space: discrete subgroups do not act properly discontinuously, and in many cases the set of accumulation points of orbits at the conformal boundary at infinity depends on the orbit. In this survey, we point out a way to extend this classical theory by introducing causality notions: the theory of limit sets and regularity domains extend naturally to achronal subgroups. This is closely related to the notions of globally hyper-bolic spacetimes, and we present what is known about the classification of globally hyperbolic spacetimes of constant curvature. We also review the close connection revealed by G. Mess ([79]) between globally hyperbolic spacetimes of dimension 2 + 1 and Teichm{\\"u}ller space. This link can be understood via the space of time-like geodesics of anti-de Sitter space, and this space has also an interesting role, presented here, in the recent works about proper group actions on spacetimes of constant curvature.

研究の動機と目的

• 双曲幾何に基づく古典的ケイリーニアン群理論を、因果的構造を基礎概念とするローレンツ的設定に拡張すること。
• 安定化部分群が非コンパクトであるために、反de Sitter空間における標準的ケイリーニアン群の性質（例：一様な軌道の極限、正しく離散的な作用）が成立しない問題に対処すること。
• 特に2+1次元において、一定曲率のグローバルにハイパーボリックな時空を分類し、G. メスの研究を通じてタイヒミュラー空間と関連付けること。
• 一定曲率の時空における離散群の正しく離散的な作用を分析すること、特にマーガリス時空およびアノソフ表現の文脈において。
• 時空における時間的測地線およびファイブレーションが、AdSおよび平坦ローレンツ的空間上で正しく離散的に作用する離散群を特徴付ける役割を果たすことを明確にすること。

提案手法

• 因果的構造を保存する「因果的でない部分群」のような因果的概念を導入し、限界集合理論の一貫した拡張を可能にする。
• 限界集合を定義する自然な設定として、反de Sitter空間のコンフォーマル境界（エインシュタイン宇宙：Ein^{1,n-1}）を用いる。
• グローバルにハイパーボリックな時空（MGHC）の理論を応用し、特にAdS、dS、および平坦な場合を含む、一定曲率のローレンツ的多様体を分類する。
• AdS^{1,2}をPSL(2,R) × PSL(2,R)内の行列の空間と同一視することで、表現を通じた時空の幾何的解釈を可能にする。
• 限界集合から見えない領域（見えない領域）という概念を適用し、因果的でない群が正しく離散的に作用する領域を特定する。
• アノソフ表現およびマーガリス不変量を用いて、特に平坦およびAdS時空における正しく離散的な作用を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的性質（例：一様な軌道の極限）が失敗するにもかかわらず、どのように古典的ケイリーニアン群理論をローレンツ幾何に拡張できるか？
• RQ2 因果的構造は、反de Sitter空間における良好に定義された離散群作用を定義するために果たす役割は何か？
• RQ3 2+1次元における一定曲率のグローバルにハイパーボリックな時空はどのように分類され、タイヒミュラー空間と関連するか？
• RQ4 離散等長群の部分群が反de Sitter空間または平坦ローレンツ的空間上で正しく離散的に作用するための条件は何か？
• RQ5 時空における時間的測地線によるファイブレーション、またはAdS上の複素構造を通じて、正しく離散的な作用の構造を理解できるか？

主な発見

• 反de Sitter空間における等長群の因果的でない部分群は、コンフォーラル境界（エインシュタイン宇宙）に定義された限界集合を有し、双曲的状況の一般化を実現する。
• AdSにおける正しく離散的な作用は、空間全体ではなく、限界集合から見えない領域（見えない領域）上で可能であり、ケイリーニアン群理論の幾何的拡張を可能にする。
• 2+1次元において、グローバルにハイパーボリックな一定曲率時空は、G. メスが確立した反de Sitter時空と双曲的構造のペアとの対応を通じて、タイヒミュラー空間によって分類される。
• マーガリス時空（R^{1,2}を離散群で割ったもの）はハンドルボディに微分同相であり、クロイクド平面で境界づけられた基本領域を有し、正しさはマーガリス不変量によって決定される。
• アノソフ表現から生じるマーガリスAdS時空は、時間的測地線によってファイブレーションされ、高次元の構造の無限小極限として得られる。
• 平坦マーガリス時空とは異なり、マーガリスAdS時空は必ずしもクロイクド基本領域を有するとは限らず、幾何的実現における構造的差異を示している。