[論文レビュー] Lorentzian Manifolds and Causal Sets as Partially Ordered Measure Spaces

L. Bombelli, Johan Noldus+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 16被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ローレンツ多様体と因果的集合を部分的に順序付けられた測度空間として扱い、因果的順序と体積測度を介してそれらの構造を統一するフレームワークを提案する。このフレームワークは、2つのこのような空間の類似度を定量化する共変距離関数を導入し、因果的集合の多様体に近い性質や、時空同士の類似度を定量的に評価できる。

ABSTRACT

We consider Lorentzian manifolds as examples of partially ordered measure spaces, sets endowed with compatible partial order relations and measures, in this case given by the causal structure and the volume element defined by each Lorentzian metric. This places the structure normally used to describe spacetime in geometrical theories of gravity in a more general context, which includes the locally finite partially ordered sets of the causal set approach to quantum gravity. We then introduce a function characterizing the closeness between any two partially ordered measure spaces and show that, when restricted to compact spaces satisfying a simple separability condition, it is a distance. In particular, this provides a quantitative, covariant way of describing how close two manifolds with Lorentzian metrics are, or how manifoldlike a causal set is.

研究の動機と目的

• ローレンツ多様体と因果的集合を、部分的に順序付けられた測度空間という共通の数学的枠組みで統一的に記述すること。
• 因果的集合がローレンツ時空にどの程度類似しているかを定量化する課題に取り組むこと。
• 因果的順序と測度論的構造を尊重する、幾何学的に意味のある共変距離を部分的に順序付けられた測度空間の間で定義すること。
• 時空同士を比較するか、離散的な因果的集合の多様体に近い性質を評価するための厳密な数学的道具を提供すること。

提案手法

• 因果的構造と体積測度を用いて、ローレンツ多様体と因果的集合を部分的に順序付けられた測度空間として表現すること。
• 順序と測度の整合性に基づいて、任意の2つのこのような空間の類似度を測る関数を定義すること。
• 単純な分離可能性条件を満たすコンパクトな空間にその関数を制限し、距離の公理を満たすように保証すること。
• これらの条件下で、関数が真の距離関数となることを証明し、定量的比較を可能にすること。
• 得られた距離を用いて、因果的集合がローレンツ多様体にどの程度近いかを評価すること。
• フレームワークを連続的時空と離散的因果的集合の両方に適用し、理論間の比較を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ多様体と因果的集合を、共通の数学的構造として正式に統一することは可能か？
• RQ2 2つの時空、または因果的集合と多様体の間の類似度を定量化するのに適した、共変的かつ数学的に厳密な方法は何か？
• RQ3 部分的に順序付けられた測度空間上で、因果的順序と測度構造の両方を尊重する距離関数を定義できるか？
• RQ4 この距離関数が、コンパクトかつ分離可能な空間上で真の距離関数となる条件は何か？
• RQ5 このフレームワークは、因果的集合の多様体に近い性質をどの程度まで評価できるか？

主な発見

• 提案された関数は、コンパクトかつ分離可能な部分的に順序付けられた測度空間上で有効な距離関数であり、すべての距離公理を満たす。
• このフレームワークにより、ローレンツ多様体と因果的集合の間で共変的かつ幾何学的に意味のある比較が可能になる。
• 距離関数は、因果的集合がローレンツ時空にどの程度近いかを定量化し、多様体に近い性質の尺度を提供する。
• この手法は連続的時空と離散的因果的集合の両方に適用可能であり、理論間分析を可能にする。
• この構成は、時空の因果的および測度論的構造を保ち、物理的意味の関連性を確保する。