[論文レビュー] Lorentzian manifolds with transitive conformal group

Dmitri V. Alekseevsky|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トランスミティブで本質的な共形群を備えたローレンツ多様体を、非正確な歪み表現（タイプA）と正確な歪み（タイプB）に分類する。4次元で共形的に平坦でないローレンツ多様体で、トランスミティブで本質的な共形群を有するものの完全分類を提供し、それらがすべて特定の構成（ハイゼンベルク型のリー代数とホモセティ生成子を含む）と共形同相であることを示している。

ABSTRACT

We study pseudo-Riemanniasn manifolds $(M,g)$ with transitive group of conformal transformation which is essential, i.e. does not preserves any metric conformal to $g$. All such manifolds of Lorentz signature with non exact isotropy representation of the stability subalgebra are described. A construction of essential conformally homogeneous manifolds with exact isotropy represenatation is given. Using spinor formalism, we prove that it provides all 4-dimensional non conformally flat Lorentzian 4-dimensional manifolds with transitive essentially conformal group.

研究の動機と目的

• 共形群がトランスミティブで本質的であるローレンツ多様体を、歪み表現に基づいて二つのタイプに分類すること。
• トランスミティブで本質的な共形群を有する4次元で共形的に平坦でないローレンツ多様体の完全分類を提供すること。
• ホモセティ生成子を備えた階数付きリー代数構造を用いて、タイプBの新しい共形同次多様体の族を構成すること。
• すべてのこのような4次元多様体が、ハイゼンベルク代数と非自明なホモセティとを含む特定の幾何的構成と共形同相であることを証明すること。
• スピン形式を用いて、次元4における分類の完全性を確立すること。

提案手法

• 共形群の関連する階数付きリー代数構造を用い、リー代数を $\mathfrak{g}^{-1} = V$, $\mathfrak{g}^0 = j(\mathfrak{h})$, $\mathfrak{g}^1 = \ker j$ に分解する。
• 擬ユークリッド空間に対して標準的な分解 $V = \mathbb{R}p + E + \mathbb{R}q$ を適用し、歪み表現を分析し、ホモセティ $D = \mathrm{id} + q \wedge p$ を特定する。
• 階数付きリー代数 $\mathfrak{g} = \mathbb{R}D + V$ を用いて共形同次多様体 $M = G/H$ を構成する。ここで $V = \mathbb{R}p + \mathfrak{heis}(E) + \mathbb{R}q$ であり、$\mathfrak{heis}(E)$ は $E$ 上の非退化2次形式 $\omega$ で定義されるハイゼンベルク代数である。
• ハイゼンベルク代数の導分を保証し、階数構造を維持するために、条件 $ (A\cdot\omega)(x,y) = \lambda\omega(x,y) $ を課す。
• スピン形式を用い、$\mathbb{S}^2$ 内の4形式の分類を用いて、ウェイルテンソルを分析し、共形的に平坦でない多様体が特定のタイプのホモセティを有することを示す。
• 共形群がウェイルテンソルに作用する様子を用いて、可能な歪み表現を制約し、4次元において共形的に平坦でないのは、$D = \mathrm{id} + q \wedge p$ を持つタイプB多様体に限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トランスミティブで本質的な共形群を有するが、共形的に平坦でない4次元ローレンツ多様体の完全分類は何か？
• RQ2 正確な歪み表現を有するタイプBのすべての共形同次ローレンツ多様体をどのように構成できるか？
• RQ3 共形同次ローレンツ多様体が共形的に平坦でないことを保証するための歪み表現および曲率テンソルの条件は何か？
• RQ4 4次元におけるどの共形構造がトランスミティブで本質的な共形群を有し、それらはどのように幾何的に実現されるか？
• RQ5 スピン形式を用いて、共形的に平坦でない4次元ローレンツ多様体を完全に分類できるか？

主な発見

• トランスミティブで本質的な共形群を有する4次元で共形的に平坦でないローレンツ多様体は、すべてハイゼンベルク代数とホモセティ生成子 $D = \mathrm{id} + q \wedge p$ を含む構成 $M(\lambda, \omega, A)$ と共形同相である。
• このような多様体の曲率作用素は $R_{px} = (A^a A^s - A^s A - J A^s)x \wedge q$ で与えられ、ここで $J$ は $g^{-1} \circ \omega = 2J$ で定義される複素構造である。
• 歪み代数には非自明なホモセティ $D = \mathrm{id} + C$（$C \in \mathfrak{so}(V)$）が含まれるべきであり、共形的に平坦でない場合、基底変換を除いて $C = q \wedge p$ である。
• このような多様体のウェイルテンソルは、ペルトーヴ型 (4) もしくは (31) の4形式に対応し、共形群はそれに対して非自明に作用する。
• 階数付きリー代数 $\mathfrak{g} = \mathbb{R}D + V$（$V = \mathbb{R}p + \mathfrak{heis}(E) + \mathbb{R}q$）を用いたタイプB多様体の構成により、すべてのこのような非共形的平坦な4次元例が得られる。
• 分類は完全である：この族以外に、トランスミティブで本質的な共形群を有する4次元で共形的に平坦でないローレンツ多様体は存在しない。