[論文レビュー] Lorentzian symmetric spaces in supergravity

José Figueroa-O’Farrill|ArXiv.org|Feb 8, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、11次元、10次元（IIB）、および6次元 $(2,0)$ および $(1,0)$ スーパーグラビティにおける、超対称的背景としてのローレンツ型対称空間を調査する。特に、11次元、10次元（IIB）、6次元 $(2,0)$ および $(1,0)$ スーパーグラビティにおける最大超対称解の分類に焦点を当てる。タイプIIスーパーグラビティにおける平行化可能背景はカーヘン＝ワラッシュ空間を用いて分類され、線形ダイロンプロファイルを伴う16または32の超対称性を保つ幾何学が特定され、標準的な分解可能時空を超える新しい解が明らかにされる。

ABSTRACT

I will discuss the emergence of lorentzian symmetric spaces as supersymmetric supergravity backgrounds. I will focus on supergravity theories in dimension 11, 10, and 6, and will concentrate on the determination of the so-called maximally supersymmetric backgrounds, for which a classification exists up to local isometry. A special class of lorentzian symmetric spaces also plays a role in the determination of parallelisable supergravity backgrounds in type II supergravity, which I will also summarise. (To appear in the proceedings of the programme "Geometry of pseudo-riemannian manifolds with application to physics", hosted by the Erwin Schroedinger International Institute for Mathematical Physics.)

研究の動機と目的

• 11次元、10次元（IIB）、および6次元 $(2,0)$ および $(1,0)$ スーパーグラビティにおける最大超対称的スーパーグラビティ背景を、ローレンツ型対称空間を用いて特定・分類すること。
• 標準的な分解可能時空（例：$\operatorname{AdS}_n \times S^m$）を超える超対称解の分類を拡張し、カーヘン＝ワラッシュ空間のような非分解的ローレンツ型対称空間を組み込むこと。
• 特にローレンツ型リー群と双不変計量を伴うタイプIIスーパーグラビティにおける平行化可能背景がどの程度超対称性を保つかを特定すること。
• ダイロンおよび場の強度が、非自明な曲率と平坦な方向を伴う幾何学において超対称性の保存をどのように決定するかを分析すること。
• 16または32の超対称性を保つ背景を体系的に分類すること。特に、光的または空間的方向に沿った線形ダイロンプロファイルを含む場合。

提案手法

• カーヘンとウォラッシュによる非分解的ローレンツ型対称空間の分類を用い、双不変ローレンツ計量を伴う $\operatorname{CW}_n(A)$ 空間に焦点を当てる。
• 11次元スーパーグラビティ解と10次元IIAおよびIIBスーパーグラビティ背景との関係を、カウズラ＝クライン還元を用いて導出する。
• 超グラビティの場の運動方程式を幾何学的偏微分方程式（PDE）として解析し、特にビアンキ恒等式と超対称性の変動を用いて許容される幾何学を同定する。
• タイプIIスーパーグラビティにおける平行化可能背景を特定するために、絶対的平行性（接続が消え、 torsion が閉じている）の条件を用いる。
• 各背景が保つ超対称性を、ダイロンプロファイルと場の強度 $H$-フラックスの分析により評価し、$|H|^2 \geq 0$ および $|d\phi|^2 \geq 0$ の条件を用いる。
• 平坦方向の符号に応じて、線形ダイロンプロファイル $\phi = a + b x^-$ または $\phi = a + \frac{1}{2}|H|y$ を仮定することで、明示的な解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 11次元、10次元、6次元のスーパーグラビティにおけるどのローレンツ型対称空間が最大超対称的背景を支持するか？
• RQ2 カーヘン＝ワラッシュ空間は、タイプII理論における平行化可能スーパーグラビティ背景の分類にどのように寄与するか？
• RQ3 非自明な $H$-フラックスとダイロンプロファイルを伴う背景が超対称性を保つための条件は何か？
• RQ4 曲率が非自明で平坦な方向を伴う幾何学（例：$\operatorname{AdS}_3 \times S^3 \times \mathbb{E}^4$ や $\operatorname{CW}_n(A) \times \mathbb{E}^{10-n}$）が、線形ダイロンプロファイルを伴って16または32の超対称性を保つか？
• RQ5 平坦方向の符号（空間的、時間的、または光的）が、許容されるダイロンプロファイルと超対称性の保存に果たす役割は何か？

主な発見

• $\operatorname{AdS}_3 \times S^3 \times S^3 \times \mathbb{E}$ の幾何学は、空間的平坦方向に沿った線形ダイロン $\phi = a + \frac{1}{2}|H|y$ を持つ超対称的背景を支持し、16の超対称性を保つ。
• $\mathbb{E}^{1,9}$ の背景は、光的方向に沿った線形ダイロン $\phi = a + b x^-$ を持ち、$|d\phi|^2 = 0$ と整合し、32の超対称性を保つ。
• $\operatorname{CW}_{10}(A)$ は、$A$ の選択に応じて16、18、20、22、24、または28の超対称性を保ち、線形ダイロン $\phi = a + b x^-$ を持つ。
• $\operatorname{CW}_4(A) \times S^3 \times \mathbb{E}^3$ のような幾何学は、$y$ を空間的平坦座標とすると、$\phi = a + b x^- + \frac{1}{2}|H|y$ を持つ16の超対称性を保つ。
• $\operatorname{CW}_6(A) \times \mathbb{E}^4$ の背景は16の超対称性を保ち、$\phi = a + b x^-$ を持つが、$\operatorname{CW}_6(A) \times S^3 \times \mathbb{E}^1$ は $|H|^2 > 0$ かつ $|d\phi|^2 = 0$ であるため、超対称性を保たない。
• $\mathbb{E}^{1,3} \times S^3 \times S^3$ の幾何学は、空間的平坦方向に沿った線形ダイロン $\phi = a + \frac{1}{2}|H|y$ を持ち、16の超対称性を保つ超対称的背景を支持する。