[論文レビュー] Lorentzian varifolds and applications to closed relativistic strings

Giovanni Bellettini, Matteo Novaga+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ミンコフスキー時空における閉じた相対論的ストリングの研究のための一般化された枠組みとして、ローレンツ型バリフールドを導入する。これはアルムグレンのバリフールド理論をローレンツ型設定に拡張したものであり、定常的ローレンツ型バリフールドの存在、コンパクト性、閉包性を確立する。これには古典的および準相対論的ストリングが含まれ、エネルギーと運動量といった保存量を許容する。

ABSTRACT

We develop a suitable generalization of Almgren's theory of varifolds in a lorentzian setting, focusing on area, first variation, rectifiability, compactness and closure issues. Motivated by the asymptotic behaviour of the scaled hyperbolic Ginzburg-Landau equations, and by the presence of singularities in lorentzian minimal surfaces, we introduce, within the varifold class, various notions of generalized minimal timelike submanifolds of arbitrary codimension in flat Minkowski spacetime, which are global in character and admit conserved quantities, such as relativistic energy and momentum. In particular, we show that stationary lorentzian 2-varifolds properly include the class of classical relativistic and subrelativistic strings. We also discuss several examples.

研究の動機と目的

• ミンコフスキー時空におけるローレンツ型最小面方程式の弱解を扱うバリフールドに基づく枠組みを構築すること。
• パrametrizationに依存しない解としての特異点を扱うために、一般化された解を導入すること。
• 超仮想Ginzburg-Landau方程式の解の極限を捉えるために、光的（光速度型）部分および非σ-有限測度をバリフールド理論に組み込むこと。
• コンパクト化されたグラスマン多様体上にバリフールドを定義することで、弱収束下でのコンパクト性と閉包性を保証すること。
• 古典的相対論的および準相対論的ストリングを一般化する定常的ローレンツ型バリフールドを定義し、エネルギーと運動量といった保存量を支持すること。

提案手法

• ミンコフスキー時空の文脈において、面積、一次変分、可解性を再定義することで、アルムグレンのバリフールド理論をローレンツ型設定に一般化する。
• 可解的および弱可解的バリフールドの二つの概念を導入し、特に超仮想Ginzburg-Landau方程式の解の極限において、光的部分や非σ-有限測度を含める。
• 時間的h-平面のグラスマン多様体のコンパクト化上にバリフールドを定義することで、接平面が劣化する系列に対してもコンパクト性を回復する。
• ラドン測度の分解定理を用いて、バリフールドを原子的、連続的、特異的成分に分解し、非σ-有限なハウスドルフ型測度の解析を可能にする。
• 特に光的集合に正のh次元測度を持つ場合に、σ-有限でない測度を扱うために、一般化されたラドン＝ニコディムの定理を適用する。
• 一次変分条件による定常性を確立し、一般化された解のクラスにおいて、相対論的エネルギーと運動量の保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルムグレンのバリフールド理論をどのようにローレンツ型設定に適応させ、ローレンツ型最小面方程式の弱解を記述できるか？
• RQ2 特異点や光的部分を含む、超仮想Ginzburg-Landau方程式の解の漸近的極限を捉えるために、どのような一般化されたバリフールドクラスが必要か？
• RQ3 時間的平面のグラスマン多様体が非コンパクトであるにもかかわらず、定常的ローレンツ型バリフールドに対してコンパクト性と閉包性を確立できるか？
• RQ4 エネルギーと運動量といった保存量を、一般化されたバリフールド枠組みにおいてどのように厳密に定義し、保存できるか？
• RQ5 非σ-有限測度および拡散的成分は、特に正の測度を持つ光的部分集合を含む状況で、弱解の記述においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 定常的ローレンツ型2-バリフールドのクラスは、古典的および準相対論的ストリングを適切に含んでおり、より広い弱解のクラスを提供する。
• 弱可解的バリフールドの導入により、エネルギーが正のh次元測度を持つ光的部分集合に集中する解を含めることができる。
• コンパクト化されたグラスマン多様体上にバリフールドを定義することで、接平面の劣化に対してもバリフールド列のコンパクト性が回復され、収束結果が得られる。
• 一般化されたラドン＝ニコディムの定理により、測度を絶対連続、特異的、拡散的成分に分解でき、非σ-有限なハウスドルフ測度の取り扱いに不可欠である。
• 1次元の定常的バリフールドにおいては、弱い台の条件が満たされれば、可解性と弱可解性が一致する。これは低次元における定義の妥当性を裏付ける。
• 分解定理により、バリフールドを基底空間上の繊維測度に分解でき、局所的な幾何的および物理的性質の解析が可能になる。