[論文レビュー] Lorenz like flows: exponential decay of correlations for the Poincaré map, logarithm law, quantitative recurrence

Stefano Galatolo, Maria José Pacífico|ArXiv.org|Jan 5, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ型流れのポアンカレ写像における相関関数の指数的減衰を確立し、到達時間の対数法則および定量的再帰性を導出する。μ-ほとんど everywhere における x に対して、到達時間 τ_r(x,x₀) が lim_{r→0} log τ_r(x,x₀) / (-log r) = d_μ(x₀) - 1 を満たすことが示され、ここで d_μ(x₀) は x₀ における SRB 測度の局所次元である。これは、測度の局所幾何構造によって支配される正確なべき乗則スケーリングを示している。

ABSTRACT

In this paper we prove that the Poincaré map associated to a Lorenz like flow has exponential decay of correlations with respect to Lipschitz observables. This implies that the hitting time associated to the flow satisfies a logarithm law. The hitting time $τ_r(x,x_0)$ is the time needed for the orbit of a point $x$ to enter for the first time in a ball $B_r(x_0)$ centered at $x_0$, with small radius $r$. As the radius of the ball decreases to 0 its asymptotic behavior is a power law whose exponent is related to the local dimension of the SRB measure at $x_0$: for each $x_0$ such that the local dimension $d_μ(x_0)$ exists, \lim_{r o 0} \frac{\log τ_r(x,x_0)}{-\log r} = d_μ(x_0)-1 holds for $μ$ almost each $x$. In a similar way it is possible to consider a quantitative recurrence indicator quantifying the speed of coming back of an orbit to its starting point. Similar results holds for this recurrence indicator.

研究の動機と目的

• 連続的流れに対して直接知られていないが、ローレンツ型流れのポアンカレ写像における相関関数の指数的減衰を確立すること。
• x₀ の周囲の小さな球への最初の通過時間のスケーリングを定量的に評価する、到達時間 τ_r(x,x₀) に対する対数法則を導出すること。
• 軌道の出発点の近傍への帰還時間の分析を通じて、軌道の定量的再帰性を特徴づけること。
• SRB 測度の局所次元 d_μ(x₀) が、到達時間および再帰指標の両方におけるスケーリング指数を支配することを証明すること。
• 最初の帰還写像 F に対する不変測度 μ_F の正確な次元性を確立し、次元に基づくスケーリング法則の適用を可能にすること。

提案手法

• ポアンカレ断面 Σ = I×I を持つ幾何学的ローレンツ型流れモデルを構築し、不連続性を持つ特異集合 Γ 沿いに最初の帰還写像 F: Σ → Σ を誘導する。
• F を、f_{Lo} が1次元ローレンツ型写像であり、g_{Lo} が非一様収縮を支配する1次元的変換である、区分的滑らか写像 F = (f_{Lo}, g_{Lo}) として定義する。
• リプシッツ観測関数に対する相関関数の減衰を、写像 F の混合性と関連付けるために、ワッサーシュタイン＝カンタロヴィッチ距離を用いる。
• Steinbergerの定理（定理 9.1）を適用し、f_{Lo} および g_{Lo} の導関数に関する条件の下で、不変測度 μ_F が正確な次元性を有することを証明する。
• ∫ψ dμ_F < ∞ および ∫φ dμ_F < ∞ を検証し、ψ(x,y) = log|f'_{Lo}(x)| および φ(x,y) = -log|∂g_{Lo}/∂y| と定義することで、次元公式の適用可能性を保証する。
• μ-ほとんど everywhere における (x,y) に対して、局所次元 d_μ(x₀) = h_μ(F) (1/∫ψ dμ_F + 1/∫φ dμ_F) が成り立つことを確立し、これにより対数法則が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ型流れのポアンカレ写像は、リプシッツ観測関数に対して指数的減衰を示すか？
• RQ2 ローレンツ型系において、到達時間 τ_r(x,x₀) に対する対数法則を確立できるか。これは、そのスケーリングが SRB 測度の局所次元と関連づけられるか。
• RQ3 局所次元 d_μ(x₀) は、小さな球への最初の通過時間の漸近的挙動をどの程度決定づけるか。
• RQ4 軌道の出発点の近傍への定量的再帰時間は、近傍のサイズに従ってどのようにスケーリングされるか。
• RQ5 最初の帰還写像 F に対する不変測度 μ_F は正確な次元性を有するか。この性質を保証する条件は何か。

主な発見

• ローレンツ型流れに付随するポアンカレ写像 F は、リプシッツ観測関数に対して指数的減衰を示す。
• μ-ほとんど everywhere における x に対して、到達時間 τ_r(x,x₀) は lim_{r→0} log τ_r(x,x₀) / (-log r) = d_μ(x₀) - 1 を満たす。ここで d_μ(x₀) は x₀ における SRB 測度の局所次元である。
• 局所次元 d_μ(x₀) は、d_μ(x₀) = h_μ(F) (1/∫ψ dμ_F + 1/∫φ dμ_F) で与えられ、ψ および φ は f_{Lo} および g_{Lo} の導関数を用いて定義される。
• Steinbergerの定理の条件（可積分性および ∂g_{Lo}/∂y の同調連続性）の検証を通じて、不変測度 μ_F が正確な次元性を有することが確認された。
• 出発点の近傍への帰還時間を測る定量的再帰指標は、d_μ(x₀) - 1 によって支配される類似のべき乗則スケーリングを満たす。
• 結果はポアンカレ断面および写像を介して確立され、連続的流れ自体における相関関数の減衰が既知でないという点を回避している。