[論文レビュー] Loss of memory of random functions of Markov chains and Lyapunov exponents

Pierre Collet, Florencia Leonardi|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、マルコフ連鎖の確率的関数における記憶消失の漸近的指数的レートが、関連する行列積の最初の2つのリャプノフ指数の差によって上から有界であることを確立している。さらに、この上限が、プロセスの典型的な実現においてほとんど確実に達成されることを示しており、システムが無限の記憶を示し、適切な記号選択のもとで上限が鋭いことを示している。

ABSTRACT

Abstract. In this paper we prove that the asymptotic rate of exponential loss of memory of a random function of a Markov chain (Zt)t∈Z is bounded above by the difference of the first two Lyapunov exponents of a certain product of matrices. We also show that this bound is in fact realized, namely for almost all realization of the process (Zt)t∈Z, we can find symbols where the asymptotic exponential rate of loss of memory attains the difference of the first two Lyapunov exponents. This shows that the process has infinite memory and leads to a lower bound on the asymptotic exponential loss of memory which is saturated (and equal to the upper bound for an adequate choice of the symbols) on a set of full measure. 1.

研究の動機と目的

• マルコフ連鎖の確率的関数における記憶消失の漸近的指数的レートを特定すること。
• システムに関連する行列積のリャプノフ指数を用いて、このレートの上界を確立すること。
• この上界が、プロセスの典型的な実現において実際に達成可能かどうかを調査すること。
• 上界が全測度の集合で達成されることを示すことにより、システムが無限の記憶を保持することを示すこと。

提案手法

• 解析は、確率的行列積およびそのリャプノフ指数の理論に依拠している。
• 著者らは、システム内の摂動の成長率を支配する行列積を定義している。
• 最初のリャプノフ指数と第二のリャプノフ指数の差を用いて、記憶消失レートの上界を導出している。
• エルゴディック理論とほとんど確実収束を用いて、この上界がマルコフ連鎖の典型的な実現においてほとんど確実に達成されることを示している。
• 記憶消失を行列積の挙動に関連付けるために、状態空間上に記号的力学系を構築している。
• 乗法的エルゴディック定理を活用して、行列積の漸近的挙動を特徴付けている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ連鎖の確率的関数における記憶消失の漸近的指数的レートは何か？
• RQ2 関連する行列積のリャプノフ指数を用いて、このレートの上界を定めることは可能か？
• RQ3 記憶消失レートの上界が、プロセスのほとんどすべての実現において実際に達成されるか？
• RQ4 システムは無限の記憶を示すか？ もしそうなら、どのような条件下でか？
• RQ5 記号の選択がどのような条件下で、記憶消失の上界が飽和するか？

主な発見

• 関連する行列積の最初の2つのリャプノフ指数の差によって、記憶消失の漸近的指数的レートが上から有界である。
• この上界は、マルコフ連鎖プロセスのほとんどすべての実現においてほとんど確実に達成される。
• 記憶消失レートが正であり、リャプノフ指数の差によって有界に保たれるため、システムは無限の記憶を示す。
• 適切な記号の選択のもとで、記憶消失の上界は全測度の集合で飽和する。
• この上界は理論的であるだけでなく、典型的な実現において実際に達成され、その鋭さが確認されている。
• 結果は、行列積の力学的安定性と確率的関数の記憶特性との間の正確な対応を示している。