[論文レビュー] Lossless Compression and Complexity of Chaotic Sequences

Nithin Nagaraj, Mathew Shaji Kavalekalam+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2011

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ロジスティック写像およびスケュー・テンチント写像からのカオス的時系列に対して、非逐次的再帰的ペア置換（NSRPS）が記号列を定数に短縮するまでに要する反復回数に基づく、新たな複雑性測度を提案する。この手法は50サンプル長でもリャプノフ指数と高い相関（r > 0.88）を示し、シャノンエントロピー推定を上回り、WinZip や 7-Zip といった標準的なアルゴリズムでは圧縮不可能なカオス的系列をNSRPSが圧縮可能であることを示している。

ABSTRACT

We investigate the complexity of short symbolic sequences of chaotic dynamical systems by using lossless compression algorithms. In particular, we study Non-Sequential Recursive Pair Substitution (NSRPS), a lossless compression algorithm first proposed by W. Ebeling et al. [Math. Biosc. 52, 1980] and Jiménez-Montaño et al. [arXiv:cond-mat/0204134, 2002]) which was subsequently shown to be optimal. NSPRS has also been used to estimate Entropy of written English (P. Grassberger [arXiv:physics/0207023, 2002]). We propose a new measure of complexity - defined as the number of iterations of NSRPS required to transform the input sequence into a constant sequence. We test this measure on symbolic sequences of the Logistic map for various values of the bifurcation parameter. The proposed measure of complexity is easy to compute and is observed to be highly correlated with the Lyapunov exponent of the original non-linear time series, even for very short symbolic sequences (as short as 50 samples). Finally, we construct symbolic sequences from the Skew-Tent map which are incompressible by popular compression algorithms like WinZip, WinRAR and 7-Zip, but compressible by NSRPS.

研究の動機と目的

• 短い記号列からなるカオス的力学系のための、頑健で計算が単純な複雑性測度の開発。
• ノイズや有限長の非i.i.d.時系列におけるシャノンエントロピー推定の限界の解消。
• 損失なし圧縮によるNSRPSが、従来のエントロピー測度が失敗する動的複雑性を捉えられるかどうかの評価。
• 特定のカオス的系列は標準的なアルゴリズムでは圧縮不可能だが、NSRPSでは圧縮可能であることを実証すること。

提案手法

• 提案された複雑性測度は、記号列が単一の定数記号に短縮されるまでにNSRPSが要する反復回数（N）として定義される。
• NSRPSは反復的に適用される：隣接する記号ペアが頻度と再帰性に基づき新しい記号に置換され、非逐次のペア選択によりバイアスを回避する。
• ロジスティック写像およびスケュー・テンチント写像から生成されたカオス的時系列の記号表現が使用され、実数値時系列には区間分割が適用される。
• リャプノフ指数は、写像のロジスティック関数の導関数を用いた標準的な公式により数値的に計算される。
• 圧縮性能は標準ツール（WinZip, WinRAR, 7-Zip）を用いて評価され、NSRPS圧縮サイズと比較される。
• 分岐パラメータと系列長の変動に応じて、Nとリャプノフ指数の相関が定量化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NSRPS反復回数は、カオス的系からの短い記号列に対して、信頼性が高く計算が単純な複雑性測度として適しているか？
• RQ2 ロジスティック写像の異なる分岐パラメータにおいて、NSRPSに基づく複雑性測度とリャプノフ指数の相関はどの程度か？
• RQ3 標準的な損失なし圧縮アルゴリズムでは圧縮不可能だが、NSRPSでは圧縮可能なカオス的系列は存在するか？
• RQ4 限られたデータ量の短い系列において、新しい複雑性測度はシャノンエントロピー推定と比べてどの程度優れているか？
• RQ5 時系列にノイズが混入した場合でも、新しい測度は頑健性を保っているか？

主な発見

• NSRPS反復回数（N）に基づく提案された複雑性測度は、50サンプルのデータ長でさえもリャプノフ指数と高い相関（r = 0.8870）を示す。
• 2つのビンとL=50の場合、Nとλの間の相関係数は0.6651に達し、L=5000でシャノンエントロピー推定が0.3565にとどまるのと比べ、顕著に優れている。
• NSRPSはスケュー・テンチント写像（a=0.65）からの1024サンプルの記号列を912ビットに圧縮できたが、WinZip, WinRAR, 7-Zip はいずれもデータを拡大（1376–1816ビット）した。
• 測度は均一分布の記号列（例：不変測度が一様なスケュー・テンチント写像）に対しても有効であり、記号頻度を超えた構造への感受性を示している。
• 短いデータ長に対しても有効であり、より長い系列に比べて相関がわずかに向上するにとどまり、生物学的・実験的時系列に適していることが示唆される。
• 結果から、NSRPSは、エントロピーが最大であっても、Lempel-Zivベースのアルゴリズムが見逃す構造的パターンを検出可能であることが示された。