[論文レビュー] Lovász Meets Weisfeiler and Leman

Holger Dell, Martin Grohe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Graph Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、色強化アルゴリズム（1次元Weisfeiler-Leman）、線形計画法による分数的同型、および木からのホモモーフィズム数の間の深い等価性を確立する。2つのグラフが色強化で区別できないのは、すべての木 T に対して Hom(T, G) = Hom(T, H) が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明し、Sherali-Adams緩和の k 階のレベルを介して、k 次元Weisfeiler-Lemanと木幅 k のグラフからのホモモーフィズム数へと拡張する。主な貢献は、2つのグラフの木からのホモモーフィズム数に差があるかどうかを決定するための準線形時間アルゴリズムの開発である。

ABSTRACT

In this paper, we relate a beautiful theory by Lovász with a popular heuristic algorithm for the graph isomorphism problem, namely the color refinement algorithm and its k-dimensional generalization known as the Weisfeiler-Leman algorithm. We prove that two graphs G and H are indistinguishable by the color refinement algorithm if and only if, for all trees T, the number Hom(T,G) of homomorphisms from T to G equals the corresponding number Hom(T,H) for H. There is a natural system of linear equations whose nonnegative integer solutions correspond to the isomorphisms between two graphs. The nonnegative real solutions to this system are called fractional isomorphisms, and two graphs are fractionally isomorphic if and only if the color refinement algorithm cannot distinguish them (Tinhofer 1986, 1991). We show that, if we drop the nonnegativity constraints, that is, if we look for arbitrary real solutions, then a solution to the linear system exists if and only if, for all t, the two graphs have the same number of length-t walks. We lift the results for trees to an equivalence between numbers of homomorphisms from graphs of tree width k, the k-dimensional Weisfeiler-Leman algorithm, and the level-k Sherali-Adams relaxation of our linear program. We also obtain a partial result for graphs of bounded path width and solutions to our system where we drop the nonnegativity constraints. A consequence of our results is a quasi-linear time algorithm to decide whether, for two given graphs G and H, there is a tree T with Hom(T,G) = Hom(T,H).

研究の動機と目的

• 色強化アルゴリズム（1-WL）と木からのホモモーフィズム数の間の明確な関係を確立すること。
• 木からのホモモーフィズム数を用いて、2つのグラフが分数的同型である条件を特徴づけること。
• Sherali-Adams緩和の k 階のレベルを介して、k 次元Weisfeiler-Lemanと有界な木幅のグラフへの等価性を拡張すること。
• 2つのグラフの木からのホモモーフィズム数に差があるかどうかを決定するための準線形時間アルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 2つのグラフ G と H が色強化で区別不能であるのは、すべての木 T に対して Hom(T, G) = Hom(T, H) が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明する。
• 線形方程式系 Fiso(G, H) を用いて分数的同型を定義し、非負実数解が存在するための必要十分条件が色強化による区別不能性であることを示す。
• Hom(T, G) = Hom(T, H) の等価性を木から木幅 k のグラフへと拡張するため、ホモモーフィズム数と Fiso(G, H) の k 階の Sherali-Adams緩和との関係を活用する。
• 幅 k のパス分解 P を持つグラフ F に対して、条件付きバッグワイズ同型ホモモーフィズム数 bIso((F, P), G | u1...uk v1...vk) を導入する。
• パス分解の長さに関する帰納法を用いて、Lk+1_iso(G, H) に実数解が存在するならば、すべての幅 k のパス分解 P を持つ F に対して bIso((F, P), G) = bIso((F, P), H) が成り立つことを示す。
• パス幅が高々 k であるグラフに対して、Lk+1_iso(G, H) に実数解が存在するならば、すべての F に対して Hom(F, G) = Hom(F, H) が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのグラフがすべての木から同じ数のホモモーフィズムを持つのはいつか？ これは色強化アルゴリズムとどのように関係するか？
• RQ2 分数的同型と木からのホモモーフィズム数の正確な関係は何か？
• RQ3 k 次元Weisfeiler-Lemanアルゴリズムと、同型線形計画法の k 階の Sherali-Adams緩和との関係は何か？
• RQ4 ホモモーフィズム数とWeisfeiler-Leman強化の等価性は、有界な木幅またはパス幅のグラフへと拡張可能か？
• RQ5 2つのグラフの木からのホモモーフィズム数に差があるかどうかを計算的に効率的に決定する方法はあるか？

主な発見

• 2つのグラフ G と H が色強化で区別不能であるのは、すべての木 T に対して Hom(T, G) = Hom(T, H) が成り立つとき、かつそのときに限る。
• G と H の間で分数的同型が存在するのは、色強化がそれらを区別できないとき、かつそのときに限る。これは、すべての木 T に対して Hom(T, G) = Hom(T, H) が成り立つことと同値である。
• 木幅 k のグラフに対して、k 次元Weisfeiler-Lemanアルゴリズムが G と H を区別できないのは、すべての木幅が高々 k のグラフ F に対して Hom(F, G) = Hom(F, H) が成り立つとき、かつそのときに限る。
• Lk+1_iso(G, H) に実数解が存在するのは、すべてのパス幅が高々 k のグラフ F に対して Hom(F, G) = Hom(F, H) が成り立つとき、かつそのときに限る。
• Hom(T, G) ≠ Hom(T, H) を満たす木 T が存在するかどうかを決定するための準線形時間アルゴリズムが存在し、色強化の結果を確認することで可能である。
• パス幅が高々 k であるグラフに対して、Lk+1_iso(G, H) に実数解が存在するならば、すべての幅 k のパス分解 P を持つ F に対して bIso((F, P), G) = bIso((F, P), H) が成り立つ。