[論文レビュー] Low Ambiguity in Strong, Total, Associative, One-Way Functions

Christopher M. Homan|ArXiv.org|Oct 2, 2000

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、強い、全関数的、結合的単方向関数（AOWF）の曖昧さの問題を調査し、標準的な曖昧さのない単方向関数が存在するならば、O(n)-to-oneの曺 ambiguity を持つこのような AOWF が構築可能であることを証明している。これは、曖昧さの上限として妥当な境界を与える。さらに、n^O(1)-to-one の AOWF が存在するための必要十分条件は P ≠ FewP であり、Σ*×Σ*→Σ* 上に O(1)-to-one の全関数的かつ結合的関数は存在しないことが示されている。

ABSTRACT

Rabi and Sherman present a cryptographic paradigm based on associative, one-way functions that are strong (i.e., hard to invert even if one of their arguments is given) and total. Hemaspaandra and Rothe proved that such powerful one-way functions exist exactly if (standard) one-way functions exist, thus showing that the associative one-way function approach is as plausible as previous approaches. In the present paper, we study the degree of ambiguity of one-way functions. Rabiand Sherman showed that no associative one-way function (over a universe having at least two elements) can be unambiguous (i.e., one-to-one). Nonetheless, we prove that if standard, unambiguous, one-way functions exist, then there exist strong, total, associative, one-way functions that are $\mathcal{O}(n)$-to-one. This puts a reasonable upper bound on the ambiguity.

研究の動機と目的

• 暗号的仮定の下で、強い、全関数的、結合的単方向関数（AOWF）の最小可能な曺 ambiguity（すなわち、preimage のサイズ）を特定すること。
• 代数的構造および計算複雑性理論が課す本質的下界と、既知の上界との間のギャップを埋めること。
• 曄あまさが有界な AOWF の存在と、FewP や P などの複雑性クラスとの関係を明確化すること。
• 特に定数対一の写像に関して、全関数的で結合的かつ再帰的関数の構造的制限を調査すること。

提案手法

• 任意の非有界で非減少かつ再帰的な関数 g: ℕ → ℕ に対して、再帰的符号化と多重集合に基づく合成を用いて、g(n)-to-one で全関数的かつ結合的で可換かつ再帰的な関数族を構築する。
• 関数出力の成長率と preimage 数の関係に基づく背理法を用い、Σ*×Σ*→Σ* 上の全関数的かつ結合的関数が O(1)-to-one であることはあり得ないことを証明する。
• 結合的合成における出力長の対数的成長限界を用いて、曄あまさの下界を導出し、特定の急激に増加する g に対して、曄あまさが o(g(n))-to-one にはなり得ないことを示す。
• 計算複雑性理論的還元を活用：n^O(1)-to-one の AOWF の存在が、曖昧さのない単方向関数からの構成により、P ≠ FewP と同値であることを証明する。
• 多重集合の像の数え上げと基数の議論（‖σ⁻¹(s)‖）を用いて、さまざまな文字列長における preimage 集合のサイズを分析する。
• f(n) = ⌈2 log n⌉^{l^{⌈log n⌉}} を用いて、f の逆関数として定義される成長閾値 g(n) を導入し、曄あまさが o(g(n))-to-one にはなり得ないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い、全関数的、結合的単方向関数は、低い曄あまさで構築可能か？ その曄あまさのタイトな上界は何か？
• RQ2 n^O(1)-to-one の強い、全関数的、結合的単方向関数の存在には、計算複雑性理論的特徴づけが可能か？
• RQ3 Σ*×Σ*→Σ* 上に O(1)-to-one の全関数的で結合的かつ再帰的関数は存在するか？ もし存在しないなら、その理由は何か？
• RQ4 出力が入力長に対して多項式的に有界であるような全関数的で結合的関数の最小曄あまさは何か？
• RQ5 自然な仮定の下で、強い、全関数的 AOWF の曄あまさは、任意の多項式よりも速く増加する関数によって下から抑えられるか？

主な発見

• 標準的な曖昧さのない単方向関数が存在するならば、O(n)-to-one の強い、全関数的、結合的単方向関数が存在し、曄あまさの上限として妥当な境界を与える。
• n^O(1)-to-one の強い、全関数的、結合的単方向関数の存在は、P ≠ FewP と同値である。
• Σ*×Σ*→Σ* 上に O(1)-to-one の全関数的で結合的かつ再帰的関数は存在せず、これは根本的な構造的制限を示している。
• 任意の非減少で非有界かつ全関数的で再帰的な関数 g: ℕ → ℕ に対して、g(n)-to-one で全関数的かつ結合的で可換かつ再帰的な関数が Σ*×Σ*→Σ* 上に存在する。
• 任意の全関数的で結合的な関数 σ: Σ*×Σ*→Σ* で出力が入力長に対して多項式的に有界である場合、曄あまさは f(n) = ⌈2 log n⌉^{l^{⌈log n⌉}} を満たす g に対して o(g(n))-to-one にはなり得ない（l > 1 に対して f の逆関数 g が定義される）。
• 曄あまさの下界は多項式より速く増加する超多項式的であり、自然な制約のもとで強い、全関数的 AOWF が部分多項式的曄あまさを持てないことを示している。