[論文レビュー] Low congestion cycle covers and their applications

Merav Parter, Eylon Yogev|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ブリッジレスなグラフにおける低混雑度サイクルカバー——各サイクルが短く（O(D)長さ）、各辺が高々O(1)個のサイクルに属するサイクル集合——を導入し、その存在を証明するとともに、効率的な構築法を提示する。主な貢献は、d = O(D)およびc = O(1)を満たす(d, c)-サイクルカバーの存在であり、これはビザンチン故障下でも効率的な耐故障分散計算を可能にする。

ABSTRACT

A cycle cover of a bridgeless graph G is a collection of simple cycles in G such that each edge e appears on at least one cycle. The common objective in cycle cover computation is to minimize the total lengths of all cycles. Motivated by applications to distributed computation, we introduce the notion of low-congestion cycle covers, in which all cycles in the cycle collection are both short and nearly edge-disjoint. Formally, a (d, c)-cycle cover of a graph G is a collection of cycles in G in which each cycle is of length at most d and each edge participates in at least one cycle and at most c cycles.A-priori, it is not clear that cycle covers that enjoy both a small overlap and a short cycle length even exist, nor if it is possible to efficiently find them. Perhaps quite surprisingly, we prove the following: Every bridgeless graph of diameter D admits a (d, c)-cycle cover where d = O(D) and c = O(1). That is, the edges of G can be covered by cycles such that each cycle is of length at most O(D) and each edge participates in at most O(1) cycles. These parameters are existentially tight up to polylogarithmic terms.Furthermore, we show how to extend our result to achieve universally optimal cycle covers. Let Ce is the shortest cycle that covers e, and let OPT(G) = maxeϵG |Ce|. We show that every bridgeless graph admits a (d, c)-cycle cover where d = O(OPT(G)) and c = O(1).We demonstrate the usefulness of low congestion cycle covers in different settings of resilient computation. For instance, we consider a Byzantine fault model where in each round, the adversary chooses a single message and corrupt in an arbitrarily manner. We provide a compiler that turns any r-round distributed algorithm for a graph G with diameter D, into an equivalent fault tolerant algorithm with r·poly(D) rounds.

研究の動機と目的

• 耐障害分散システムへの応用を想定し、サイクル長が短くかつ辺の重複が少ないバランスの取れたサイクルカバーを、ブリッジレスなグラフに構築する課題に対処すること。
• グラフの直径Dに対して、d = O(D)およびc = O(1)を満たす(d, c)-サイクルカバーの存在を証明することにより、短いサイクルと有界な混雑度の両方を確保すること。
• 各辺をカバーする最短サイクルの長さを基準として最適性を定義し、d = O(OPT(G))およびc = O(1)を達成することで、普遍的に最適なサイクルカバーを構築すること。
• ビザンチン分散アルゴリズムにおけるコンパイラベースの耐障害性に、低混雑度サイクルカバーが実用的に有効であることを示すこと。

提案手法

• 各サイクルの長さがd以下で、各辺が高々c個のサイクルに属するサイクル集合を(d, c)-サイクルカバーと定義する。
• 構造的グラフ性質とサイクル分解技術を用いて、直径Dのすべてのブリッジレスなグラフが、d = O(D)およびc = O(1)を満たす(d, c)-サイクルカバーを有することを証明する。
• 各辺をカバーする最短サイクルの長さを基準として最適性を定義し、その基準を用いて構成を拡張することで、d = O(OPT(G))およびc = O(1)を達成する。
• 任意のrラウンド分散アルゴリズムを、ビザンチン攻撃者モデル下で、r·poly(D)ラウンドの耐障害版に変換するコンパイラを設計する。
• 低混雑度サイクルカバーを基盤として、各ラウンドで1つのメッセージが攻撃者によって改ざんされても、冗長性とサイクルカバーによる調整によって信頼性のあるメッセージ伝搬を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのブリッジレスなグラフに、同時に短くかつほぼ辺に重複のない低混雑度サイクルカバーが存在するか？
• RQ2 このようなサイクルカバーにおいて、サイクル長と辺混雑度の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 小直径のグラフにおいて、このようなサイクルカバーを効率的に構築できるか？
• RQ4 低混雑度サイクルカバーは、ビザンチン故障下の耐障害分散アルゴリズムの構築にどのように利用できるか？
• RQ5 各辺をカバーする最短サイクルの長さの定数倍以内のサイクル長を達成する、普遍的に最適なサイクルカバーを構築することは可能か？

主な発見

• 直径Dのすべてのブリッジレスなグラフは、d = O(D)およびc = O(1)を満たす(d, c)-サイクルカバーを有する。これは、短く重複が少ないサイクルカバーの存在を証明する。
• サイクル長と混雑度の間のパラメータは、多項式対数因子の範囲で存在的にタイトであり、より良い漸近的トレードオフは不可能であることを示す。
• d = O(OPT(G))およびc = O(1)を満たす普遍的に最適なサイクルカバーが存在する。ここで、OPT(G)は、どの辺に対してもその辺をカバーする最短サイクルの長さの最大値である。
• この構成により、任意のrラウンド分散アルゴリズムを、r·poly(D)ラウンドのビザンチン耐性版に変換するコンパイラが可能になる。
• サイクルカバー構造により、攻撃者が各ラウンドで1つのメッセージを改ざんしても、冗長性とサイクルカバーによる調整によってアルゴリズムの正しさが保証される。