[論文レビュー] Low Degree Places on the Modular Curve X1(N)

Mark van Hoeij|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Cryptography and Residue Arithmetic被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$X_1(N)$ 上の低次数の点を調査し、$X_1(N)$ の $Χ$-ゴナリティ未満の次数の数体上で定義された点に焦点を当てる。リーマン・ロッホ空間の計算とモジュラー単数を用いて、このような点が存在すること（例えば $N=37$ の場合、次数6の体が位数37の点を支持する）を示し、それらのすべての点を有限計算可能に特定する方法を提案するが、反例により、すべての低次数の点が尖点の隣接点であるとは限らないことが示される。

ABSTRACT

This short note gives questions and examples of points on X1(N) defined over number fields whose degrees are lower than the gonality.

研究の動機と目的

• $X_1(N)$ 上の $Χ$-ゴナリティ未満の次数を持つ点が有限個であるかを特定し、もしそうならば、有限回の計算で特定可能かを検討する。
• $X_1(N)$ 上のすべての低次数の非尖点の点が、尖点の隣接点であるか、すなわち、その除数にのみ尖点とその点が含まれるモジュラー単数 $f$ が存在するかを調査する。
• 低次数の点を特定するための計算戦略を、特にリーマン・ロッホ空間の計算とモジュラー単数の根の探索を用いて開発・検証する。
• プローブ的アプローチを用いて $N \leq 80$ まで低次数の点の探索を拡張し、以前のリーマン・ロッホ計算の結果と比較する。
• $N \leq 40$ において、モジュラー単数を用いた $f - c = 0$ 法とリーマン・ロッホ法の有効性を比較し、強い経験的整合性を観察する。

提案手法

• 低次数の点を、$X_1(N)$ 上の非尖点の点 $v$ で $\deg(v) < \text{gon}(N)$ となるものとして定義する。
• 尖点に台を持つ除数 $D$ に対してリーマン・ロッホ空間 $L(D)$ を用い、極と零点を制御する関数を計算し、低次数の点を特定することを目的とする。
• 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の除数を特徴的0に持ち上げ、候補となる点を構成する。このとき $\deg(D') < \text{gon}(N)$ かつ $D' \geq 0$, $\text{Supp}(D') \cap \text{Cusps}(N) = \emptyset$ となるようにする。
• $N > 40$ の場合、確率的アプローチに切り替える：モジュラー単数 $f$ をサンプリングし、$c = \pm 1$ に対して $f - c = 0$ を解き、それらの根が低次数の点に対応することを確認する。
• サザーランドのデータベースに由来する $r, s, b, c$ を用いた $X_1(N)$ の明示的パラメトライゼーションにより、位数 $N$ の点 $P$ を持つ楕円曲線 $E_{b,c}$ を定義し、$X_1(N)$ 上の点に対応させる。
• ある点 $v$ の残渣体 $\mathbb{Q}(v)$ が次数 $\deg(v)$ の数体であることを確認し、$\mathbb{Q}(v)$ 上の $E_{b,c}$ が位数 $N$ の点を持つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\text{LDP}(N) = \{v \in \text{Places}(N) \setminus \text{Cusps}(N) \mid \deg(v) < \text{gon}(N)\}$ として定義される低次数の点の集合は、常に有限であり、有限ステップで計算可能か？
• RQ2 $X_1(N)$ 上のすべての低次数の点が尖点の隣接点であるか、すなわち、$v(f) = 1$ かつ $\text{Supp}(f) \subseteq \text{Cusps}(N) \cup \{v\}$ を満たすモジュラー単数 $f$ が存在するか？
• RQ3 $N \leq 40$ において、モジュラー単数を用いた $f - c = 0$ 法が、リーマン・ロッホ計算で得られたすべての低次数の点を回復できるか？
• RQ4 $N \leq 80$ において、非尖点の点の次数と $C_N = \mathbb{Q}(x)[y]/(F_N)$ に属する関数の次数は何か？また、探索は完全か？
• RQ5 経験的に、$f - c = 0$ 法がリーマン・ロッホ法で得られたすべての低次数の点を回復できた理由について、理論的説明はあるか？

主な発見

• $N = 37$ の場合、位数37の点は次数6の数体 $\mathbb{Q}(\alpha, \tau)$ 上で定義され、$X_1(37)$ の $Χ$-ゴナリティは18であるため、$\text{LDP}(37) \neq \emptyset$ であることが示された。
• モジュラー単数を用いた $f - c = 0$ 法は、$N \leq 40$ においてリーマン・ロッホ計算で得られたすべての低次数の点を回復できた。これは、形式的でないが強い経験的有効性を示している。
• 問題1（すべての低次数の点が尖点の隣接点か）に対する答えは否定的である。すべての低次数の点が、その除数にのみ尖点とその点が含まれるモジュラー単数の台として現れるとは限らない。
• $N \leq 80$ の表では、関数と点の次数がリストアップされており、'6+' は次数 $\geq 6$ の点を示し、'9,10,11+' はそれぞれ9次、10次、11次以上の関数を示す。
• $N = 29$ の場合、同型でない3つの数体（次数9）が得られ、それぞれが楕円曲線の位数29の点を支持した。
• $N = 31$ の場合、5つの同型でない数体が得られ、そのうち1つは次数9であり、$Χ$-ゴナリティは12である。次数9以上の点が見つかった。