[論文レビュー] Low depth algorithms for quantum amplitude estimation

Tudor Giurgică-Tiron, Iordanis Kerenidis+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、回路の深さとオракル呼び出し回数の最適なトレードオフを達成する2つの低深さ量子アルゴリズム、Power Law AE および QoPrime AE を導入する。これらは古典的スケーリング（$\beta=1$）と標準的量子スケーリング（$\beta=0$）の間を補間することで、近い未来のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイス上でモンテカルロ法に実用的な量子加速を可能にする。特に、Power Law AE はノイズ下でも優れた実験的性能を示している。

ABSTRACT

We design and analyze two new low depth algorithms for amplitude estimation (AE) achieving an optimal tradeoff between the quantum speedup and circuit depth. For $β\in (0,1]$, our algorithms require $N= ilde{O}( \frac{1}{ ε^{1+β}})$ oracle calls and require the oracle to be called sequentially $D= O( \frac{1}{ ε^{1-β}})$ times to perform amplitude estimation within additive error $ε$. These algorithms interpolate between the classical algorithm $(β=1)$ and the standard quantum algorithm ($β=0$) and achieve a tradeoff $ND= O(1/ε^{2})$. These algorithms bring quantum speedups for Monte Carlo methods closer to realization, as they can provide speedups with shallower circuits. The first algorithm (Power law AE) uses power law schedules in the framework introduced by Suzuki et al \cite{S20}. The algorithm works for $β\in (0,1]$ and has provable correctness guarantees when the log-likelihood function satisfies regularity conditions required for the Bernstein Von-Mises theorem. The second algorithm (QoPrime AE) uses the Chinese remainder theorem for combining lower depth estimates to achieve higher accuracy. The algorithm works for discrete $β=q/k$ where $k \geq 2$ is the number of distinct coprime moduli used by the algorithm and $1 \leq q \leq k-1$, and has a fully rigorous correctness proof. We analyze both algorithms in the presence of depolarizing noise and provide numerical comparisons with the state of the art amplitude estimation algorithms.

研究の動機と目的

• 近い未来のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイスへの適用を制限する、標準的量子振幅推定における高い回路深さの課題に対処すること。
• 特にモンテカルロ法や機械学習の応用を想定し、回路深さを低減しつつも量子加速を維持するアルゴリズムを設計すること。
• オラクル呼び出し回数と回路深さのトレードオフを、古典的（$\beta=1$）と標準的量子的（$\beta=0$）スケーリングの間を補間する形でパrameter化すること。
• 特にデポラライジングノイズを想定した現実的なノイズ条件下でも、理論的正しさを厳密に保証することで、現在のハードウェア上で実用的であることを確実にすること。
• IQAE などの最先端のアルゴリズムと比較し、ノイズ耐性の向上とリソースの過剰な増加の削減を示すこと。

提案手法

• Suzuki らのフレームワークに従い、累乗則スケジューリングを用いる Power Law AE を提案。オラクル呼び出し回数と深さはそれぞれ $N = \tilde{O}(\epsilon^{-(1+\beta)})$ および $D = O(\epsilon^{-(1-\beta)})$ とし、$\beta \in (0,1]$ とする。
• QoPrime AE を導入。素数で互いに素な法を用いて、複数の低深さの振幅推定値を中国剰余定理で組み合わせることで、低深さで高い精度を達成する。
• 離散的 $\beta = q/k$ の設定（$k \geq 2$ かつ $1 \leq q \leq k-1$）の下で、QoPrime AE の理論的正しさを完全に厳密に証明する。
• 失敗確率を抑え、オラクル呼び出し回数を高精度で推定するために、チェルノフ不等式と正確な二項分布の信頼区間を分析に用いる。
• デポラライジングノイズを、ノイズの下限 $\gamma$ を設定することでモデル化し、深さが $O(\gamma^{-1})$ を超えないようにすることで、信頼区間が指数的に小さくなるのを回避する。
• 理論的境界と実験的シミュレーションを用いて、$\beta$、$k$、$q$ などのアルゴリズムパラメータを最適化し、ノイズ下でオラクル呼び出し回数と深さを最小化する。

Figure 1: Convergence of the coprime finding routine. The algorithm finds $k$ adjacent coprimes $n_{1}$ , $n_{2}$ , …, $n_{k}$ such that their product $N=n_{1}\dots n_{k}$ is close to $\pi/\epsilon$ . Both the smallest coprime $n_{1}$ (approaching 1 from below) and the largest coprime $n_{k}$ (appro

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実用的な NISQ デバイス上で、量子加速を維持したまま、回路深さを著しく低減して振幅推定が行えるか？
• RQ2 振幅推定におけるオラクル呼び出し回数と回路深さの最適なトレードオフは何か？また、連続的な $\beta$ でパrameter化可能か？
• RQ3 提案されたアルゴリズムは、現実的なデポラライジングノイズ下でどのように動作するか？また、IQAE のような高深さアルゴリズムで見られる指数的過剰な負荷を回避できるか？
• RQ4 中国剰余定理を効果的に量子振幅推定に応用し、低深さの推定値を統合して高精度な結果を得られるか？
• RQ5 オラクル呼び出し回数と深さに関する理論的境界が、ノイズ付きシミュレーションにおける実際の性能とどの程度一致するか？

主な発見

• Power Law AE は、$\beta \in (0,1]$ に対して $N = \tilde{O}(\epsilon^{-(1+\beta)})$ のオラクル呼び出し回数と $D = O(\epsilon^{-(1-\beta)})$ の深さを達成し、古典的（$\beta=1$）と標準的量子的（$\beta=0$）スケーリングの間を補間する。
• QoPrime AE は、離散的 $\beta = q/k$ の設定において完全に厳密な正しさの証明を提供し、実験的性能では $\epsilon$ やノイズ率の広い範囲で定数係数 $C < 10$ を示している。
• ノイズ率 $\gamma$ のデポラライジングノイズ下では、$\epsilon \ll \gamma$ の場合に滑らかに古典的スケーリングに移行し、IQAE で見られるオラクル呼び出し回数の指数的増加を回避する。
• 数値的シミュレーションにより、Power Law AE はノイズ下でも IQAE よりも実際の性能が優れていることが示され、指数的過剰な負荷を伴わずに古典的性能に滑らかに漸近する能力のおかげである。
• QoPrime AE の最大オラクル深さは $O(\gamma^{-1})$ で抑えられており、精度がノイズによって制限される場合に過剰な深さが生じるのを防ぎ、信頼区間の指数的増加を防ぐ。
• QoPrime AE のオラクル呼び出し回数に関する理論的上界は保守的であり、正確な二項分布の信頼区間の計算により、理論的推定で用いられるチェルノフ近似よりも実際の性能が優れていることが実験的に示された。

Figure 2: The behavior of the oracle call dependency in ( 22 ) for several values of parameters $k$ and $q$ , and for fixed noise level $\gamma=10^{-5}$ and probability of failure $\delta=10^{-5}$ . When taking the minimum over the family of curves parametrized by all valid $k$ and $q$ (here assumed