[論文レビュー] Low-dimensional homology groups of mapping class groups: a survey

Mustafa Korkmaz|ArXiv.org|Jul 9, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 61

ひとこと要約

このサーベイは、向き付け可能および非向き付け可能曲面の写像類群の1次および2次ホモロジー群に関する既知の結果を包括的に要約している。境界および穴をもつ曲面の写像類群の$H_1$および$H_2$の完全な計算を提供し、古典的結果の新しい証明を提示している—特に、複数の境界成分をもつ genus one におけるデーン回転の非生成性—ならびにこれらを非向き付け可能曲面へと拡張し、$g \geq 7$ のとき$H_1(\Gamma_g^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2^{n+1}$ が成り立つことを示している。また、高次ホモロジーおよびコホモロジーにおける未解決問題を概説しており、特に$H_2(\Gamma_{2,r}^n)$および$H_2(\Gamma_{3,r}^n)$について言及している。

ABSTRACT

In this survey paper, we give a complete list of known results on the first and the second homology groups of surface mapping class groups. Some known results on higher (co)homology are also mentioned.

研究の動機と目的

• 境界および穴をもつ向き付け可能曲面の写像類群の1次および2次ホモロジー群に関する既知の結果をすべて整理・体系化すること。
• 古典的結果の新しい、初等的な証明を提供すること—特に$H_1(\Gamma_{1,r}^n)$の構造および、$r \geq 2$ 個の境界成分をもつ genus one において、デーン回転が写像類群を生成しないという事実—。
• ホモロジー解析を非向き付け可能曲面へと拡張し、$g \geq 7$ に対して$H_1(\Gamma_g^n; \mathbb{Z})$を計算し、純粋および完全な写像類群との関係を明らかにすること。
• 高次元コホモロジーにおける既知の結果および未解決問題を概説すること—特に安定コホモロジーや$\Gamma_2$のmod-2コホモロジーについて。

提案手法

• 論文は、写像類群を、穴および境界成分を固定する向きを保つ微分同相写像のホモトピー類として標準的に定義している。
• 群の構造およびホモロジーを分析するための基礎的道具として、ブレード関係、2つの穴あきトーラス関係、ランタン関係といったデーン回転関係を用いている。
• 普遍係数定理およびホモロジー安定性定理（例えばハラーおよびイワノフのもの）を用いて、$H_2$および高次ホモロジー群の性質を導出している。
• 非向き付け可能曲面に対しては、リコリッシュおよびチリングワースの生成集合（デーン回転およびクロスキャップスライドを含む）に依拠し、$H_1$を計算している。
• 群の拡大および完全系列を用いて、純粋写像類群$\Gamma_g^n$と完全群$\mathcal{M}_g^n$との関係を確立し、ホモロジー計算を可能にしている。
• デーン、ジョンソン、ハラー、ミラー、ベンソン＝コーエン、および著者の自身の研究を含む複数の出典の結果を統合し、包括的なサーベイを提示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$g, r, n$に対して、$H_1(\Gamma_{g,r}^n; \mathbb{Z})$の完全な構造は何か？
• RQ2 すべての$g, r, n$に対して、$H_2(\Gamma_{g,r}^n; \mathbb{Z})$は何か？ どの場合が未解決のままであるか？
• RQ3 非分離曲線に関するデーン回転が、$r \geq 2$ のとき、genus one では$\Gamma_{1,r}^n$を生成しないのはなぜか？ 高次 genus とはどう異なるのか？
• RQ4 非向き付け可能曲面の写像類群の1次ホモロジーは何か？ 純粋群と完全群との間でどのように異なるか？
• RQ5 写像類群の高次元コホモロジーにおける既知の結果および未解決問題は何か？

主な発見

• 向き付け可能曲面に対しては、$g=1$ かつ $n=0$ のとき$H_1(\Gamma_g^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2$ であり、$r \geq 2$ のとき$H_1(\Gamma_{1,r}^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2^{r+n}$ である。この結果に対して新しい証明が与えられている。
• $H_2(\Gamma_2; \mathbb{Z})$ は $\mathbb{Z}_2$ に同型であり、genus 2 に対してはこれが唯一の非自明な$H_2$である。
• 非向き付け可能曲面の純粋写像類群の1次ホモロジーは、$g \geq 7$ のとき$H_1(\Gamma_g^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2^{n+1}$ を満たす。これは[27]で証明されている。
• 完全写像類群$\mathcal{M}_g^n$に対しては、$H_1(\mathcal{M}_g^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2^{k(g,n)}$ であり、$k(g,n)$ は$g$および$n$に基づく区分的関数で、$k(g,0)=1$（$g \geq 7$ のとき）である。
• BensonおよびCohenによって計算された、$\Gamma_2$のmod-2コホモロジーのポincare系列は$(1 + t^2 + 2t^3 + t^4 + t^5)/(1 - t)(1 - t^4)$ である。
• $g \geq 6$ のとき、$H_3(\Gamma_{g,r}; \mathbb{Q})$ は消える。有理数コホモロジー代数は、$2n$次元のクラス$y_{2n}$によって、$g/3$未満の次数まで単射的に生成される。