[論文レビュー] Low dimensional projective groups

Indranil Biswas, Mahan Mj|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正則的凸な普遍被覆を持つ滑らかな複素射影多様体の基本群として定義される、正則的凸群を導入する。このような群のコhomological次元が2である場合、著者らはそれがコンパクトなリーマン面の基本群に同型であることを証明しており、これにより、射影多様体から生じる有理コhomological次元2の線型群は（仮想的）表面群であることが示される。

ABSTRACT

We initiate the study of holomorphically convex groups: groups that can be realized as fundamental groups of smooth complex projective varieties with holomorphically convex universal covers. If $G$ is a holomorphically convex group of cohomological dimension two, we show that $G$ is isomorphic to the fundamental group of a compact Riemann surface. As a consequence, we show that if a linear group $G$ has (rational) cohomological dimension two and is the fundamental group of a smooth complex projective variety, then $G$ is a (virtual) surface group.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素射影多様体の正則的凸な普遍被覆を持つ基本群として、正則的凸群を定義し、その性質を研究すること。
• コhomological次元が2である正則的凸群の構造を調査すること。
• 有理コhomological次元2を持つ線型基本群が、滑らかな複素射影多様体の基本群として生じる場合の意味を明らかにすること。
• コhomological次元と複素射影多様体の幾何的構造との間の関係を確立すること。
• このような群が（仮想的）表面群であることを示し、代数的トポロジーと複素幾何を結びつけること。

提案手法

• 滑らかな複素射影多様体の普遍被覆の正則的凸性を用いて、正則的凸群を定義する。
• コhomological次元2を鍵となる制約条件として、基本群の幾何的・代数的構造を分析する。
• 複素幾何およびホッジ理論の結果を応用して、可能な基本群の制約を求める。
• コンパクトなリーマン面の分類を活用し、次元2の群を表面群として特定する。
• 群の線型性を用いて、幾何群論における既知の結果を応用し、仮想的表面群構造を導出する。
• 有理コhomological次元2が、射影多様体の基本群として実現される場合に、群が（仮想的）表面群であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則的凸な普遍被覆を持つ滑らかな複素射影多様体から生じる基本群はどれか？
• RQ2 このような群がコhomological次元2をとる場合、どのような幾何的・代数的制約が生じるか？
• RQ3 有理コhomological次元2の条件が、射影多様体の線型基本群の構造にどのように制限を加えるか？
• RQ4 正則的凸群としての次元2の群は、表面群または仮想的表面群として分類可能か？
• RQ5 普遍被覆の正則的凸性と基本群の幾何的型との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• コhomological次元が2である正則的凸群は、コンパクトなリーマン面の基本群に同型である。
• 滑らかな複素射影多様体の基本群として生じる、有理コhomological次元2の線型群は（仮想的）表面群である。
• 普遍被覆の正則的凸性は、基本群に強くトポロジカルかつ幾何的制約を課す。
• コhomological次元2の条件は、周囲の多様体の複雑さにかかわらず、群が表面群の構造を持つことを強制する。
• この結果により、複素幾何（正則的凸性）と幾何群論（表面群）の間の橋渡しがなされた。
• 群が表面群の仮想的同型である場合でも分類が成立し、これは強固な構造的制約を示している。