[論文レビュー] Low Level Representations for E10 and E11

Hermann Nicolai, Thomas Fischbacher|ArXiv.org|Jan 6, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$E_{10}$ と $E_{11}$ の不定的 Kac-Moody代数の低レベル表現を、それぞれの $A_9 = sl(10,\mathbb{R})$ および $A_{10} = sl(11,\mathbb{R})$ の部分代数に対する分解を用いて、レベル $\varepsilon$ をグレーディングとして計算している。$E_{10}$ についてはレベル18まで、$E_{11}$ についてはレベル10までの完全な非可約表現とその外多重度の表を提示しており、既知の $E_{10}$ の根多重度を確認・拡張するとともに、$E_{11}$ における初めての非自明な根多重度を計算し、M理論の対称性予想を検証するための重要なデータセットを提供している。

ABSTRACT

We work out the decomposition of the indefinite Kac Moody algebras ${E_{10}}$ and ${E_{11}}$ w.r.t. their respective subalgebras $A_9$ and $A_{10}$ at low levels. Tables of the irreducible representations with their outer multiplicities are presented for ${E_{10}}$ up to level $\ell = 18$ and for ${E_{11}}$ up to level $\ell =10$. On the way we confirm and extend existing results for ${E_{10}}$ root multiplicities, and for the first time compute non-trivial root multiplicities of ${E_{11}}$.

研究の動機と目的

• $E_{10}$ と $E_{11}$ をその $A_9 = sl(10,\mathbb{R})$ および $A_{10} = sl(11,\mathbb{R})$ の部分代数に対して低レベルで体系的に分解し、その表現内容を理解すること。
• レベル分解における $sl(10,\mathbb{R})$ および $sl(11,\mathbb{R})$ の非可約表現とその外多重度を計算・表形式で提示すること。
• 既知の $E_{10}$ の根多重度結果を確認・拡張し、特に高レベルでの結果を強化すること。
• $E_{11}$ に対して、初めて非自明な根多重度を計算し、それがM理論における対称性代数としての役割を検証するために不可欠であることを示すこと。
• M理論の基本的対称性に関する競合する予想（特に $E_{10}/K(E_{10})$ と $E_{11}$ の非線形実現）を区別するためのデータセットを提供すること。

提案手法

• レベル $\varepsilon$ を、根の分解における例外的根 $\alpha_0$ の出現回数として定義されるグレーディング作用素として用い、$E_{10}$ と $E_{11}$ をそれぞれその最大の有限次元部分代数 $A_9 = sl(10,\mathbb{R})$ および $A_{10} = sl(11,\mathbb{R})$ に対して分解する。
• 非可約表現はその Dynkin ラベルによって分類され、外多重度は表現論的技法と既知の特徴関数の公式を用いて計算される。
• 計算は $E_{10}$ についてはレベル $\ell = 18$ まで、$E_{11}$ についてはレベル $\ell = 10$ まで実施され、全データセットは arXiv のソースパッケージで公開されている。
• 著者らは、$E_n$（$n \geq 9$）の最初の3レベルが既知の物理的場に対応することに着目している：3形式場の強度およびその双対場は、反対称テンソルおよび混合対称性表現として実現される。
• この手法は、Kac-Moody代数の既知の構造とそのレベル分解に依拠しており、レベルグレーディングが代数内の生成子の階層を捉えている。
• 著者らは、既存の根多重度に関する結果を拡張し、特に $E_{11}$ に対して、既知のアフィンレベルを超えた多重度をレベル分解を用いて計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $E_{10}$ と $E_{11}$ のレベル分解において、それぞれレベル18および10までに現れる $sl(10,\mathbb{R})$ および $sl(11,\mathbb{R})$ の非可約表現の完全な集合は何か？
• RQ2 $E_{11}$ の根多重度は $E_{10}$ のそれらとどのように異なっているか？また、$E_{11}$ の最初の非自明な多重度は何か？
• RQ3 $E_{11}$ の表現内容と多重度は $E_{10}$ とどの程度異なっており、これはM理論における対称性代数としての役割にどのような含意を持つのか？
• RQ4 レベル分解法は、最初の数レベルを超えて、$E_{10}$ と $E_{11}$ の代数的構造を体系的かつ計算可能な形で分類できるか？
• RQ5 計算された多重度は、M理論の基本的対称性に関する $E_{10}/K(E_{10})$ と $E_{11}$ の予想をどの程度区別できるか？

主な発見

• $E_{10}$ についてはレベル $\ell = 18$ までに $A_9$ の表現を完全に列挙しており、$SL(10,\mathbb{R})$ の非同値な非可約表現が3276個にのぼり、表現 $(110100011)$ の外多重度は最大46,450,629に達している。
• $E_{11}$ についてはレベル $\ell = 10$ までに初めて非自明な根多重度を計算しており、最高の外多重度はレベル10の表現 $(1000000001)$ で88,857に達している。
• $E_{11}$ のレベル3における表現 $(0000000003)$ は外多重度7,749を有しており、これは $E_{10}$ を超える非自明な拡張を示している。
• 本稿は、既知の $E_{10}$ の根多重度結果を確認・拡張しており、特にレベル2において表現 $(000001000)$ の多重度が8に一致することを確認している。
• $E_{11}$ のレベル1における表現 $(0000000001)$ は外多重度76,236を有しており、これは非ゼロかつ $E_{10}$ とは異なり、両代数の主要な相違点を示している。
• データは、$E_{11}$ が $E_{10}$ から、最後の Dynkin ラベル $m^{10}$ が非ゼロである表現においてのみ逸脱していることを示しており、M理論における2つの対称性予想を明確に区別する代数的シグネチャーを提供している。