[論文レビュー] Low-lying excitations in one-dimensional lattice electron systems

Hal Tasaki|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2004

Quantum and electron transport phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非整数 $P\nu$ を持つ一次元格子電子系において、無限体積における基底状態が縮退している（対称性の破れによる）か、またはギャップのない低エネルギー励起状態を持つことを厳密に証明している。これは、一意のギャップを持つ基底状態が不可能であることを示している。証明は、電荷相関関数とユニタリなねじれ演算子に基づく新規な手法を用い、エネルギーが基底状態に近い局在した試験状態を構成することで、リー＝シュルツ＝マッティス定理を摂動論的でない形で、相互作用を含む電子系へと拡張している。

ABSTRACT

We consider a general one-dimensional tight-binding electron model which has a period $P$. For any filling factor $ν$ such that $Pν$ is non-integral, we prove that the model in the infinite volume limit has either a symmetry breaking or a unique ground state with gapless excitations. The proof is based on the idea of Yamanaka, Oshikawa and Affleck (cond-mat/9701141), who extended the Lieb-Schultz-Mattis argument to electron systems.

研究の動機と目的

• 強く相関する一次元電子系へ、リー＝シュルツ＝マッティス定理を完全に非摂動的に拡張すること。
• 以前の研究におけるギャップを埋めるために、無限体積極限において基底状態と直交する局在した励起状態を構成すること。
• 非整数 $P\nu$ の場合、一意のギャップを持つ基底状態は不可能であることを証明すること—対称性の破れまたはギャップのない励起状態のどちらかが生じる。
• 高次対称性をもたない系へも適用可能な一般化された手法を開発し、電荷相関関数を用いて低エネルギー励起状態を構築すること。

提案手法

• 試験励起状態 $\Psi = U\Phi_0$ を生成するためのユニタリなねじれ演算子 $U = \exp\{2\pi i \sum_{j=0}^{LP-1} ([j/P]+1)(\hat{n}_{j,\uparrow}/L)\}$ を導入する。
• 密度演算子 $\hat{\rho}_L = (LP)^{-1} \sum_{j=0}^{LP-1} \hat{n}_{j,\uparrow}$ を定義し、そのゆらぎ $f(L) = \langle(\hat{\rho}_L - \nu)^2\rangle$ を分析する。
• シュバルツの不等式を用いて $|\langle\Phi_0, \Psi\rangle|^2 \leq \langle \alpha + \beta(\hat{\rho}_L - \nu)^2 \rangle \leq \alpha + \beta f(L)$ を導出し、$L$ が十分に大きい場合に $|\varepsilon|^2 \leq 1 - \delta$ となることを示す。
• $\Psi = \sqrt{1 - |\varepsilon|^2} \Psi' + \varepsilon \Phi_0$ と分解し、エネルギー $\langle \Psi', H \Psi' \rangle \leq E_{\rm GS} + \frac{\gamma}{\delta L}$ を満たす直交励起状態 $\Psi'$ を抽出する。
• エネルギーの上限を用いて、有限なスケール $L$ のサポートを持つ低エネルギー励起状態の存在を示し、対称性の破れまたはギャップのない励起状態が生じることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー＝シュルツ＝マッティス定理を摂動論的でない形で、相互作用を含む一次元電子系へ拡張することは可能か？
• RQ2 非整数 $P\nu$ を持つ電子系において、無限体積極限においても基底状態と直交する局在した励起状態を構成することは可能か？
• RQ3 一次元電子系において $P\nu$ が整数でない場合、可能な低エネルギー挙動は何か？
• RQ4 一般の相互作用および短距離 hopping を想定した場合、このような系に一意のギャップを持つ基底状態が存在しうるか？

主な発見

• 周期 $P$ で非整数 $P\nu$ を持つ任意の一次元タイトバインディング電子系において、無限体積における基底状態は、対称性の破れによる縮退またはギャップのない励起状態のどちらかに属する。
• 非整数 $P\nu$ の場合、相互作用の強さや相関効果に関係なく、一意のギャップを持つ基底状態は厳密に排除される。
• 試験励起状態 $\Psi'$ は、長さ $L$ の有限領域でのみ基底状態と異なるが、エネルギーが $\langle \Psi', H \Psi' \rangle \leq E_{\rm GS} + \frac{\gamma}{\delta L}$ を満たす。
• $|\langle \Phi_0, \Psi \rangle|^2 \leq 1 - \delta$（$ abla > 0$）という上限により、完全な直交性がなくても、非自明な直交励起状態の存在が保証される。
• 周期 $P$ で $P\nu \notin \mathbb{Z}$ を満たす限り、一般の短距離 hopping および長距離相互作用に対しても、この結果は成り立つ。