[論文レビュー] Low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions: A transition in the Ratios Conjecture

Daniel Fiorilli, James Parks+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、奇数の平方因子なしの8の倍数である導手を持つ二次ディリクレL関数の族における低く滑らかな零点の1レベル密度を計算するためにL関数の比の予想を適用する。支持関数のフーリエ変換のサポートがσ = 1に達する地点で、主項および低次の項に明確な遷移が生じることを特定し、これはカーツ＝サルナックのヒューリスティックおよびルドニックの関数体結果と整合している。また、GRHのもとで、フーリエ変換のサポートがσ < 2まで延びるテスト関数に対して有効な漸近公式を導出する。

ABSTRACT

We study the $1$-level density of low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions by applying the $L$-functions Ratios Conjecture. We observe a transition in the main term as was predicted by the Katz-Sarnak heuristic as well as in the lower order terms when the support of the Fourier transform of the corresponding test function reaches the point $1$. Our results are consistent with those obtained in previous work under GRH and are furthermore analogous to results of Rudnick in the function field case.

研究の動機と目的

• 奇数の平方因子なしの8の倍数である導手を持つ二次ディリクレL関数の族における低く滑らかな零点の1レベル密度を分析すること。
• テスト関数のフーリエ変換のサポートがσ = 1に達する際の密度公式の振る舞いを調査すること。ここでは、相転移が予測される。
• 1レベル密度のGRHに基づく漸近公式を、J(X)項および低次の項の精密な取り扱いを含めて拡張すること。
• カーツ＝サルナックのヒューリスティックおよびルドニックの関数体結果と整合することを確認すること。特に、σ = 1における主項および低次の項の両方に遷移が生じることを同定すること。

提案手法

• L関数の比の予想を用いて、二次ディリクレL関数の族F*(X)における低く滑らかな零点の1レベル密度を予測する。
• 比の予想を適用し、GRHのもとでσ < 2に対して1/log Xのべき級数としての漸近展開を得る。
• Mellin変換技術および留数積分を用いてJ(X)項を計算し、γ、ζ′(2)/ζ(2)、重み関数wのMellin変換の対数微分を含む明示的定数を伴う1/L項が寄与することを示す。
• テスト関数のフーリエ変換を含む積分の詳細な漸近的解析を行い、主項および低次の項からの寄与を分離する。
• 留数定理および contour 変形を用いて、φ(τ)/τおよびe^{-2πiτ}を含む振動的積分を評価し、カーツ＝サルナックの予測と結びつける。
• 誤差項をO_ε(X^{σ/6 − 1/3 + ε})およびO_ε(X^{-1/2 + ε})として確立し、テスト関数のサポートに一様であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト関数のフーリエ変換のサポートがσ = 1に達する際、奇数の平方因子なしの8の倍数である導手を持つ二次ディリクレL関数の族における低く滑らかな零点の1レベル密度はどのように振る舞うか？
• RQ2 比の予想は、カーツ＝サルナックのヒューリスティックと整合する形で、σ = 1における1レベル密度の主項および低次の項に相転移を予測するか？
• RQ3 1レベル密度の漸近展開におけるJ(X)項は明示的に計算可能であり、特定の算術定数を伴う1/L項として寄与することが示せるか？
• RQ4 1レベル密度の低次の項は、カーツ＝サルナックのヒューリスティックおよびルドニックの関数体結果の予測とどの程度一致するか？
• RQ5 GRHのもとで導出された漸近公式は、σ < 2のとき、特に1/LおよびO(1/L²)項の構造に関して、以前の結果とどのように比較できるか？

主な発見

• 族F*(X)の1レベル密度は、テスト関数のフーリエ変換、重み関数wのMellin変換の対数微分、およびγおよびζ′(2)/ζ(2)に関連する明示的定数を含む漸近公式で与えられる。
• 主項および低次の項の両方に、テスト関数のフーリエ変換のサポートが臨界点に達するσ = 1で明確な遷移が生じる。これはカーツ＝サルナックの予測を確認する。
• J(X)項は、−log(2^{7/3} e^{1+γ}) + 2ζ′(2)/ζ(2) − Mw′(1)/Mw(1)を係数とする1/L項を寄与する。これは留数積分およびMellin変換解析を用いて明示的に導出された。
• X → ∞の極限において、1レベル密度の公式はカーツ＝サルナックの予測∫φ̂(0) − 1/2 ∫_{-1}^1 φ̂(u) duと一致し、σ = 1における遷移が低次の項の構造に反映されている。
• 誤差項はO_ε(X^{σ/6 − 1/3 + ε})であり、以前の境界を改善しており、テスト関数のサポートに一様である。
• 導出は、ルドニックの関数体結果および以前のGRHに基づく研究と整合しており、特に1/L項の振る舞いおよび重み関数のMellin変換の役割において顕著である。