[論文レビュー] Low-order continuous finite element spaces on hybrid non-conforming hexahedral-tetrahedral meshes

Maxence Reberol, Bruno Lévy|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非平面な六面体面と一致させるために四面体に二次写像を用い、連続性制約を二次ラグランジュ基底関数で強制することにより、ハイブリッド非適合六面体-四面体メッシュ上に $C^0$-連続な有限要素空間を構築する手法を提案する。この手法は、純粋な六面体メッシュと同等の精度を達成し、線形四面体メッシュよりも顕著に優れた性能を示し、完全な六面体メッシュ化が困難な複雑な幾何形状に対して、堅牢な代替手法を提供する。

ABSTRACT

This article deals with solving partial differential equations with the finite element method on hybrid non-conforming hexahedral-tetrahedral meshes. By non-conforming, we mean that a quadrangular face of a hexahedron can be connected to two triangular faces of tetrahedra. We introduce a set of low-order continuous (C0) finite element spaces defined on these meshes. They are built from standard tri-linear and quadratic Lagrange finite elements with an extra set of constraints at non-conforming hexahedra-tetrahedra junctions to recover continuity. We consider both the continuity of the geometry and the continuity of the function basis as follows: the continuity of the geometry is achieved by using quadratic mappings for tetrahedra connected to tri-affine hexahedra and the continuity of interpolating functions is enforced in a similar manner by using quadratic Lagrange basis on tetrahedra with constraints at non-conforming junctions to match tri-linear hexahedra. The so-defined function spaces are validated numerically on simple Poisson and linear elasticity problems for which an analytical solution is known. We observe that using a hybrid mesh with the proposed function spaces results in an accuracy significantly better than when using linear tetrahedra and slightly worse than when solely using tri-linear hexahedra. As a consequence, the proposed function spaces may be a promising alternative for complex geometries that are out of reach of existing full hexahedral meshing methods.

研究の動機と目的

• 非平面な面を持つ六面体と四面体が接する非適合なハイブリッド六面体-四面体メッシュ上に連続な有限要素空間を構築する課題に対処すること。
• 三線形六面体と線形四面体の間の非適合界面に起因する幾何的および関数的不連続性を克服すること。
• 純粋な六面体要素では生成が困難な場合でも、六面体優勢のメッシュ上で高精度な有限要素解を得ることを可能にすること。
• ピラミッド要素に依存せずに、非適合な六面体-四面体界面における連続性を形式的かつ数学的に根拠づけたフレームワークを提供すること。

提案手法

• 三線形六面体の非平面な四辺形面と正確に一致させるために、四面体に二次等参写像を用い、幾何的連続性を確保する。
• 三線形六面体の関数空間 ($\mathbb{Q}_1$) と一致させるために、四面体上に二次ラグランジュ有限要素 ($\mathbb{P}_2$) を用いる。
• 非適合接合部において、グローバルな有限要素関数空間の $C^0$ 連続性を強制する制約を課す。
• 四面体上の関数基底を重心座標と辺の中点を用いて定義し、頂点および辺の中点での補間を保証する。
• 参照要素アプローチを適用：すべての要素を参照四面体 ($\hat{T}$) および参照六面体 ($\hat{Q}$) に写像し、基底関数と制約を標準化する。
• 関数値および勾配を共有界面の点（特に頂点および辺の中点）で一致させることで、連続性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的および関数的連続性を満たすように、非適合なハイブリッド六面体-四面体メッシュ上に $C^0$ 連続な有限要素空間を構築できるか？
• RQ2 六面体の四辺形面が非平面であり、それに2つの四面体が接続されている場合、幾何的連続性をどのように達成できるか？
• RQ3 非適合な六面体-四面体界面を越えて有限要素関数が連続に保たれるために必要な制約は何か？
• RQ4 得られる関数空間は、純粋な六面体メッシュと同等の精度を達成できるか、一方で純粋な四面体メッシュよりも柔軟性に優れるか？
• RQ5 適切な連続性制約を用いることで、ピラミッド要素を避けて直接に六面体と四面体を結合できるか？

主な発見

• 提案手法は、三線形六面体の非平面な面と正確に一致させるために四面体に二次写像を用いることで、幾何的連続性を達成する。
• 四面体上に二次ラグランジュ基底関数を用い、頂点および辺の中点での制約を課すことにより、関数の連続性を強制する。
• ポisson問題および線形弾性問題に対する数値実験では、線形四面体要素よりも顕著に優れた精度を示し、純粋な三線形六面体メッシュよりもわずかに劣る。
• 本手法により、局所的な遷移層よりも複雑な幾何形状に適した、散在する非適合接合部を持つ六面体優勢メッシュの利用が可能になる。
• ピラミッド要素を避け、非適合ハイブリッドメッシュ上での $C^0$ 連続性を形式的かつ数学的に一貫した枠組みで提供する。