[論文レビュー] Low Polynomial Exclusion of Planar Graph Patterns

Jean‐Florent Raymond, Dimitrios M. Thilikos|arXiv (Cornell University)|May 30, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ホイール、ダブルホイール、幅幅2のグラフ、ヤートグラフを含む特定の平面的グラフパターンを最小部分グラフとして含まないグラフの木幅に、低次の多項式上界を確立する。それぞれの木幅は、O(h)、O(h² log²h)、O(h²)、O(h⁴) で抑えられ、従来の指数関数的上界に比べて顕著に改善され、最小部分グラフ閉じたグラフ族における多項式グリッド除外の理解を前進させる。

ABSTRACT

The celebrated grid exclusion theorem states that for every $h$-vertex planar graph $H$, there is a constant $c_{h}$ such that if a graph $G$ does not contain $H$ as a minor then $G$ has treewidth at most $c_{h}$. We are looking for patterns of $H$ where this bound can become a low degree polynomial. We provide such bounds for the following parameterized graphs: the wheel ($c_{h}=O(h)$), the double wheel ($c_{h}=O(h^2\cdot \log^{2} h)$), any graph of pathwidth at most 2 ($c_{h}=O(h^{2})$), and the yurt graph ($c_{h}=O(h^{4})$).

研究の動機と目的

• 固定された平面的最小部分グラフ H を除外するグラフの木幅が |V(H)| の低次の多項式で抑えられるかどうかを特定すること。
• グリッド除外定理における従来の指数的または超多項式的上界を改善し、特定の平面的グラフ族に対して多項式的木幅上界を同定すること。
• ホイール、ダブルホイール、ヤートグラフなどの特定の構造的平面的グラフに対して、タイトまたはほぼタイトな上界を確立すること。
• ラマヌジャングラフやその他の極値的構成を用いて下界を分析することで、これらの上界の最適性を調査すること。

提案手法

• 構造的グラフ理論と最小部分グラフ包含の組み合わせを用いて、特定の平面的パターンを最小部分グラフとして含まないグラフの木幅を分析する。
• 高い木幅は特定の部分構造の存在を強制することを活用し、グリッド最小部分グラフ定理の変種を適用して最小部分グラフ包含の十分条件を導出する。
• ヤートグラフの証明は、高木幅グラフ内に櫛構造を構築し、部分列の議論を用いて必要な最小部分グラフを抽出することに依存する。
• ダブルホイールおよび幅幅2のグラフに対しては、再帰的分解と最小部分グラフ閉鎖性の性質を用いて、除外パターンのサイズに基づく木幅の上界を導出する。
• 被覆グラフ族 Λ(C) を、櫛 C に対して詳細に構成し、これを目的の最小部分グラフをシミュレートするのに用いる。
• ラマヌジャングラフを用いた高周囲と大きな木幅を持つ極値的グラフ構成により下界を導出し、特定の上界が漸近的にタイトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的最小部分グラフ H を除外するグラフの木幅が |V(H)| の多項式で抑えられるか。その場合、最高の次数は何か？
• RQ2 位数 h のホイールグラフ H を除外する場合、その木幅の上界は多項式的か。さらに、O(h) に改善可能か？
• RQ3 ダブルホイールおよびヤートグラフ族に対する最良の多項式的上界は何か。これらの上界はタイトか？
• RQ4 グリッド除外定理が一般の場合よりも顕著に優れた多項式的木幅上界をもたらす、構造的平面的グラフクラスは存在するか？
• RQ5 ラマヌジャングラフのような極値的グラフ構成を用いて、特定の最小部分グラフ族の除外に必要な多項式次数の最良の下界を確立できるか？

主な発見

• ホイールの位数 h を最小部分グラフとして除外する任意のグラフの木幅は、O(h) で抑えられ、定数係数の意味でタイトである。
• ダブルホイールの位数 h に対して、木幅は O(h² log²h) で抑えられ、従来の指数的上界に比べて改善されている。
• 幅幅が 2 以下のグラフが最小部分グラフとして除外される場合、ホストグラフの木幅は O(h²) で抑えられる。
• ヤートグラフの位数 h が最小部分グラフとして除外されるのは、ホストグラフの木幅が O(h⁴) 以下である場合に限る。これは、この族に対して初めての多項式的上界である。
• 特定の最小部分グラフ族を除外する場合、木幅上界の下界として Ω(h log h) が得られ、この次数が一部のクラスにおいて最適である可能性を示唆している。
• 著者らは、ダブルホイールに対する上界が O(h) で最適であると予想しており、また、幅幅1およびヤート型の族に対して得られた Ω(h log h) の下界がタイトであると予想している。