[論文レビュー] Low-Rank and Low-Order Decompositions for Local System Identification

Nikolai Matni, Anders Rantzer|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、低ランクかつ低順序の分解を用いて、大規模分散システムにおける局所的ダイナミクスとグローバル相互接続を分離するための核ノルム最小化手法を提案する。局所的ダイナミクスは低順序だがフルランクであり、グローバルダイナミクスは高順序だが低ランクであるという構造的差を活用することで、相互接続信号が隠されている状況でも正確な局所的システム同定が可能となり、合成実験ではノイズレベルに近い推定誤差を達成した。

ABSTRACT

As distributed systems increase in size, the need for scalable algorithms becomes more and more important. We argue that in the context of system identification, an essential building block of any scalable algorithm is the ability to estimate local dynamics within a large interconnected system. We show that in what we term the "full interconnection measurement" setting, this task is easily solved using existing system identification methods. We also propose a promising heuristic for the "hidden interconnection measurement" case, in which contributions to local measurements from both local and global dynamics need to be separated. Inspired by the machine learning literature, and in particular by convex approaches to rank minimization and matrix decomposition, we exploit the fact that the transfer function of the local dynamics is low-order, but full-rank, while the transfer function of the global dynamics is high-order, but low-rank, to formulate this separation task as a nuclear norm minimization.

研究の動機と目的

• グローバル相互接続が局所的ダイナミクスを隠す大規模分散システムにおけるスケーラブルなシステム同定の課題に対処すること。
• 実世界のシステムで一般的な制限である、相互接続信号が完全に測定可能でない状況において、局所的サブシステムのダイナミクスを同定する手法を開発すること。
• 局所的成分（低順序だがフルランク）とグローバル成分（高順序だが低ランク）の間の構造的差を活用し、凸最適化を用いてそれらを分離すること。
• 隣接サブシステムとの通信やシステム構造に関する事前知識を必要としない、スケーラブルで局所的なアルゴリズムを提供すること。
• 隠れた相互接続信号が存在する状況でも、正確な局所モデル推定を可能にし、将来的なグローバル相互接続再構築手法との統合の可能性を秘めていること。

提案手法

• 局所的システム同定問題を、インパulse応答を局所的（低順序、フルランク）およびグローバル的（高順序、低ランク）成分に分離する行列分解タスクとして定式化する。
• グローバルダイナミクス成分に低ランク構造を促進するために核ノルム最小化を用い、ランク最小化の凸緩和を活用する。
• 隠れた相互接続の場合、局所入力および相互接続信号から局所出力への伝達関数を、異なる構造的性質を持つ二つの成分の和としてモデル化する。
• グローバル成分に低ランク構造を強制するとともに、局所成分の低順序性を保持する凸最適化プログラム（例：(27)および(18)）を解く。
• 推定誤差を制御し、測定ノイズに対するロバストネスを確保するために、フロベニウスノルム制約を適用する。
• ハンケル行列の特異値分解（SVD）を用いて、局所システムの真の次数および隠れた相互接続部分空間の次元を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブシステム間の相互接続信号が直接測定可能でない場合、局所的システムダイナミクスを正確に同定できるか？
• RQ2 低順序／フルランクの局所的ダイナミクスと高順序／低ランクのグローバルダイナミクスの構造的差を、凸最適化を用いてそれらの寄与を分離するために活用できるか？
• RQ3 核ノルム最小化は、隠れた相互接続信号および測定ノイズが存在する状況でも、正確な局所的システム同定をどの程度可能にするか？
• RQ4 本手法は、局所システムの真の次数および隠れた相互接続部分空間の次元を正しく同定できるか？
• RQ5 相互接続信号が完全に観測可能な場合、本手法の性能は古典的手法と比べてどの程度か？

主な発見

• 完全な相互接続測定設定では、推定誤差が ‖Ŝⁱ − Sⁱ‖_F = 0.008 に達し、これは ‖S‖_F = 2.871 に対するノイズレベル内に収まっている。
• 隠れた相互接続の場合、推定誤差は ‖Ŝⁱ − Sⁱ‖_F = 0.093 であり、ノイズレベルをわずかに上回るが、依然として局所的ダイナミクスの妥当な推定である。
• ハンケル行列 𝒫(H(Sⁱ)) の上位3つの特異値は、パラメータの広い範囲において残りの特異値よりも少なくとも1桁以上大きいことが確認され、正しいランク検出が行われたことが示された。
• すべての δₕ ∈ [0, 0.15] に対して、各 H(e^{jωₖ}) 項のランクが正しく1として同定されたことから、隠れた相互接続部分空間の次元が正確に特定されたことが確認された。
• 数値実験の結果、本手法は真の局所的ダイナミクスの次数および隠れた相互接続部分空間の次元の同定に適しており、その後続のパrametricな精密化が可能であることが示唆された。
• 相互接続信号が測定されていない状況でも、局所的およびグローバルダイナミクスの成功した分離が実現しており、大規模分散システム同定のための実現可能性が示された。