[論文レビュー] Low rank approximations of symmetric polynomials and asymptotic counting of contingency tables

Alexander Barvinok|ArXiv.org|Mar 8, 2005

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、与えられた行和と列和を持つ $m \times n$ のクロス集計表の個数を、指数分布をとる要素を持つランダム行列の恒等的永久の期待値として表現することにより、確率的手法による近似を提案する。行和と列和が有界である場合、この推定子の分散が十分に小さく、多項式時間近似スキーム（PTAS）が得られることを証明している。また、対称多項式が低ランクの一次形式の累乗の和によって効率的に近似可能であることを示し、行和が有界な場合に部分指数時間のアルゴリズムが得られることを明らかにした。

ABSTRACT

We represent the number of mxn non-negative integer matrices (contingency tables) with prescribed row sums and column sums as the expected value of the permanent of a non-negative random matrix with exponentially distributed entries. We bound the variance of the obtained estimator, from which it follows that if the row and column sums are bounded by a constant fixed in advance, we get a polynomial time approximation scheme for counting contingency tables. We show that the complete symmetric polynomial of a fixed degree in n variables can be epsilon-approximated coefficient-wise by a sum of powers of O(log n) linear forms, from which it follows that if the row sums (but not necessarily column sums) are bounded by a constant, there is a deterministic approximation algorithm of m^{O(log n)} complexity to compute the logarithmic asymptotic of the number of tables.

研究の動機と目的

• 与えられた行和と列和を持つ $m \times n$ のクロス集計表の個数を効率的に近似するアルゴリズムを開発すること。
• 両方の次元が増加する際の正確な数え上げの計算困難性、特に和が中程度に大きい場合に焦点を当てる。
• 対称多項式が低ランクの一次形式の累乗の和によって近似可能であることを示し、計算を効率化すること。
• 行和と列和が有界である場合に多項式時間近似スキーム（PTAS）を確立すること。
• 行和のみが有界である場合に、対数的漸近を $m^{O(\log n)}$ 時間で決定的計算するアルゴリズムを導出すること。

提案手法

• 行和と列和が与えられたクロス集計表の個数を、独立同分布の指数分布をとる要素を持つランダム行列の恒等的永久の期待値として表現する。
• 多項式のスカラー積を用いて、関心のある係数を内積行列の恒等的永久として表現する。
• 期待値 $\mathbb{E}[\alpha^2]$ と $\mathbb{E}[\alpha]^2$ の項を比較することで推定子の分散を抑え、その比が $2^{2N}$ 以下であることを示す。
• すべての $r_i, c_j \leq \rho$ のとき、表の個数が相対誤差が小さい範囲で近似可能であり、これによりPTASが得られることを証明する。
• 指数モーメントの性質を用いて、固定次数 $r$ の完全対称多項式 $h_r$ を $O(\log n)$ 個の一次形式の累乗の和で $\epsilon$-近似可能であることを示す。
• 単項式のスカラー積が内積行列の恒等的永久に対応することを活用し、恒等的永久を介して効率的な計算が可能になること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行和と列和が有界である場合、クロス集計表の個数を効率的に近似できるか？
• RQ2 指数確率変数を用いた恒等的永久に基づく推定子の分散はどの程度か？
• RQ3 固定次数の完全対称多項式は、一次形式の累乗の和によって効率的に近似可能か？
• RQ4 対称多項式の低ランク近似は、クロス集計表の個数を求める部分指数時間アルゴリズムを導くか？
• RQ5 行和のみが有界である場合、クロス集計表の対数的個数の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• すべての行和と列和が定数 $\rho$ で有界である場合、提案された推定子の分散は十分に小さく、クロス集計表の個数に対する多項式時間近似スキーム（PTAS）が得られる。
• 恒等的永久推定子の分散は、期待値の二乗に対する比が $2^{2N}$ 以下であるため、濃度が保証される。
• 固定次数 $r$ に対して、$n$ 変数における完全対称多項式 $h_r$ は、$O(\log n)$ 個の一次形式の累乗の和により係数ごとに $\epsilon$-近似可能である。
• 行和のみが有界である場合、対数的漸近を $m^{O(\log n)}$ 時間で決定的に計算するアルゴリズムが得られる。
• クロス集計表の個数は、有界な周辺和のもとで漸近的に $\frac{N!}{r_1! \cdots r_m! \, c_1! \cdots c_n!} \exp\left(\frac{2}{N^2} \sum_{i,j} \binom{r_i}{2} \binom{c_j}{2}\right)$ と表され、相対誤差は $O(N^{-1})$ である。
• 本手法により、対称多項式、恒等的永久、指数モーメント母関数の間の関係が確立され、低ランク分解を介した効率的近似が可能になる。