[論文レビュー] Low-Signal-Energy Asymptotics of Capacity and Mutual Information for the Discrete-Time Poisson Channel

Alfonso García Martínez|ArXiv.org|Aug 20, 2008

Wireless Communication Security Techniques参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、加法的ポアソン雑音または幾何分布雑音を伴う離散時間ポアソンチャネルにおける相互情報量およびチャネル容量の低信号エネルギー漸近挙動を導出する。低エネルギー領域では相互情報量が $-\varepsilon_s \log \varepsilon_s$ のオーダーで増加し、ポアソン雑音下ではビットあたり最小エネルギーがゼロであり、幾何分布雑音下では $\varepsilon_n \log 2$ となる。固定信号星座図は、この極限に到達できないことが示される。

ABSTRACT

The first terms of the low-signal-energy asymptotics for the mutual information in the discrete-time Poisson channel are derived and compared to an asymptotic expression of the capacity. In the presence of non-zero additive noise (either Poisson or geometric), the mutual information is concave at zero signal-energy and the minimum energy per bit is not attained at zero capacity. Fixed signal constellations which scale with the signal energy do not attain the minimum energy per bit. The minimum energy per bit is zero when additive Poisson noise is present and $\ew\log 2$ when additive geometric noise of mean $\ew$ is present.

研究の動機と目的

• 固定信号星座図を用いた低信号エネルギー領域におけるチャネル容量と相互情報量の差を定量化すること。
• 信号エネルギー $\varepsilon_s \to 0$ のときの相互情報量および容量の漸近的挙動を特定すること。
• 固定星座図が、加法的雑音を伴うポアソンチャネルにおけるビットあたり最小エネルギーに到達可能かどうかを分析すること。
• ポアソンおよび幾何分布雑音モデルにおけるビットあたり最小エネルギーを計算すること。

提案手法

• ポアソンおよび幾何分布雑音分布の対数関数およびモーメント母関数のテイラー展開を用いて、相互情報量の漸近的展開を導出する。
• $\varepsilon_s = 0$ の周りで相互情報量式のダイバージェンス項を摂動法により展開し、$\mathcal{O}(\varepsilon_s^2)$ 項まで保持する。
• 測度の変更技術を用いて、相互情報量を出力確率および入力分布の和として表現する。
• ダイバージェンス $D(Q(y|x) \| Q(y|x=0))$ の2次展開を計算し、低 $\varepsilon_s$ における相互情報量の曲率を捉え、ゼロエネルギーにおける下に凸性を明らかにする。
• フラッシュ信号方式および $p = \varepsilon_s$ または $p = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s$ のバイナリ変調を用いて、チャネル容量の上限を求める。
• ノイズなしの場合の容量の漸近的形を $\text{C}(\varepsilon_s) = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s + o(-\varepsilon_s \log \varepsilon_s)$ として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定星座図の相互情報量は、低信号エネルギー領域における信号エネルギー $\varepsilon_s$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ2 離散時間ポアソンチャネルにおいて、$\varepsilon_s \to 0$ のときのチャネル容量の漸近的挙動は何か？
• RQ3 加法的ポアソンまたは幾何分布雑音下で、ポアソンチャネルのビットあたり最小エネルギーはゼロであるか、有界なままか？
• RQ4 固定信号星座図は、低信号エネルギー領域において、ビットあたり最小エネルギーに到達可能か？
• RQ5 加法的雑音が存在する場合、ゼロ信号エネルギーにおける相互情報量は下に凸か？

主な発見

• ノイズなしの離散時間ポアソンチャネルの容量は、$\varepsilon_s \to 0$ のとき、$\text{C}(\varepsilon_s) = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s + o(-\varepsilon_s \log \varepsilon_s)$ の漸近的挙動を示す。
• 加法的雑音が存在する場合、固定星座図の相互情報量はゼロ信号エネルギーにおいて下に凸であり、非ゼロのビットあたり最小エネルギーを示唆する。
• 加法的ポアソン雑音が存在する場合、チャネル遷移確率のダイバージェンス構造のおかげで、ビットあたり最小エネルギーはゼロである。
• 平均 $\varepsilon_n$ の加法的幾何分布雑音が存在する場合、ビットあたり最小エネルギーは $\varepsilon_n \log 2$ である。これは相互情報量の2次展開から導出される。
• 信号エネルギー $\varepsilon_s$ に比例してスケーリングする固定信号星座図は、最適漸近的レートより遅く相互情報量が増加するため、ビットあたり最小エネルギーに到達しない。
• 離散時間ポアソンチャネルでは、$\text{C}_1 = \sup_{\varepsilon_s} \text{C}(\varepsilon_s)/\varepsilon_s = \infty$ であるため、単位コストあたりの容量は無限大である。これはゼロエネルギーのシンボルが存在するためである。