[論文レビュー] Lower bound on expected communication cost of quantum Huffman coding

Anurag Anshu, Ankit Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、量子ハフマン符号化の期待通信コストに対する下界を確立し、いかなる1回限りの量子方式でも、ボン・ネウマンエントロピーによって与えられる漸近的量子圧縮レートに到達できないことを証明している。これは、インタラクティブ通信が存在しても同様に成り立つ。この結果は、古典的および量子的1回限り圧縮の間にある根本的な隔たりを示しており、量子通信複雑性および1回限りの量子逆シャノン定理に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Data compression is a fundamental problem in quantum and classical information theory. A typical version of the problem is that the sender Alice receives a (classical or quantum) state from some known ensemble and needs to transmit them to the receiver Bob with average error below some specified bound. We consider the case in which the message can have a variable length and the goal is to minimize its expected length. For classical messages this problem has a well-known solution given by Huffman coding. In this scheme, the expected length of the message is equal to the Shannon entropy of the source (with a constant additive factor) and the scheme succeeds with zero error. This is a single-shot result which implies the asymptotic result, viz. Shannon's source coding theorem, by encoding each state sequentially. For the quantum case, the asymptotic compression rate is given by the von-Neumann entropy. However, we show that there is no one-shot scheme which is able to match this rate, even if interactive communication is allowed. This is a relatively rare case in quantum information theory when the cost of a quantum task is significantly different than the classical analogue. Our result has implications for direct sum theorems in quantum communication complexity and one-shot formulations of Quantum Reverse Shannon theorem.

研究の動機と目的

• 1回限りの量子圧縮方式が、ボン・ネウマンエントロピーによって与えられる漸近的量子圧縮レートに到達できるかどうかを調査すること。
• インタラクティブ通信が、古典的および量子的1回限り圧縮性能の差を埋めるかどうかを特定すること。
• 可変長符号化方式における量子通信コストの根本的制限を確立すること。
• 量子通信複雑性における直接和定理への影響を調査すること。
• 圧縮の文脈において、1回限りの形式化された量子逆シャノン定理の妥当性を検討すること。

提案手法

• 平均誤差が有界な可変長符号化の下で、量子ハフマン符号化の期待通信コストを分析する。
• 1回限りの量子圧縮コストを、ボン・ネウマンエントロピーによって与えられる漸近的レートと比較する。
• 情報理論的技法を用いて、1回限りの設定における期待通信コストの下界を導出する。
• インタラクティブ通信プロトコルが圧縮コストに与える影響を検討し、それがギャップを埋めないことを示す。
• 量子情報理論の結果を応用して、1回限りの設定において漸近的レートに一致することが不可能であることを示す。
• 量子状態および集合体の構造的性質に依存して、下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1回限りの量子ハフマン符号化は、ボン・ネウマンエントロピーによって定義される漸近的圧縮レートに到達できるか？
• RQ2 インタラクティブ通信により、量子1回限り方式が漸近的圧縮レートに一致できるか？
• RQ3 量子可変長符号化の期待通信コストに対する根本的下界は何か？
• RQ4 エントロピーの一致という観点から、1回限りの量子圧縮コストは古典的ハフマン符号化と比べてどのように異なるか？
• RQ5 この下界が、量子通信複雑性における直接和定理に与える影響は何か？

主な発見

• ボン・ネウマンエントロピーによって与えられる漸近的圧縮レートに到達できる1回限りの量子符号化方式は存在しない。
• インタラクティブ通信が存在しても、量子1回限り符号化における期待通信コストは漸近的レートに一致できない。
• 期待通信コストの下界はボン・ネウマンエントロピーを厳密に上回っており、古典的および量子的1回限り圧縮の間にある根本的な隔たりを示している。
• この結果は、古典的1回限りのハフマン符号化の利点が量子領域に拡張されないことを示唆している。
• この発見は、漸近的レートに一致する1回限りの形式化された量子逆シャノン定理の可能性を揺るがしている。
• この結果は、量子情報理論において、量子タスクコストが古典的類似物に比べて著しく上回る稀な事例を浮き彫りにしている。