[論文レビュー] Lower Bounding Ground-State Energies of Local Hamiltonians Through the Renormalization Group

Ilya Kull, Norbert Schuch+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2022

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、局所的量子ハミルトニアンの基底状態エネルギーの下界を求めるために、レノルミゼーション群（RG）フレームワークを活用した新しい凸緩和法を提案する。RG粗化写像を用いて、次第に大きな系にわたる一貫性制約を強制することで、計算複雑性を低減しつつも、厳密な下界を維持する。主な貢献は、スピン数約100の局所的並進不変状態の最適化と同等の精度を得られる、スケーラブルで対称性に配慮したアプローチである。1次元および2次元スピン系に適用可能である。

ABSTRACT

Given a renormalization scheme, we show how to formulate a tractable convex relaxation of the set of feasible local density matrices of a many-body quantum system. The relaxation is obtained by introducing a hierarchy of constraints between the reduced states of ever-growing sets of lattice sites. The coarse-graining maps of the underlying renormalization procedure serve to eliminate a vast number of those constraints, such that the remaining ones can be enforced with reasonable computational means. This can be used to obtain rigorous lower bounds on the ground state energy of arbitrary local Hamiltonians, by performing a linear optimization over the resulting convex relaxation of reduced quantum states. The quality of the bounds crucially depends on the particular renormalization scheme, which must be tailored to the target Hamiltonian. We apply our method to 1D translation-invariant spin models, obtaining energy bounds comparable to those attained by optimizing over locally translation-invariant states of $n\gtrsim 100$ spins. Beyond this demonstration, the general method can be applied to a wide range of other problems, such as spin systems in higher spatial dimensions, electronic structure problems, and various other many-body optimization problems, such as entanglement and nonlocality detection.

研究の動機と目的

• 局所的ハミルトニアンの基底状態エネルギーに対する厳密な下界を計算するための実行可能な手法を開発すること。
• レノルミゼーション群（RG）粗化を活用して重複する制約を除去することで、エネルギー下界の計算コストを低減すること。
• 縮小密度行列における制約の階層を定式化することにより、1次元および2次元量子スピン系におけるスケーラブルなエネルギー下界を実現すること。
• 並進不変性やグローバル群対称性などの対称性を緩和フレームワークに組み込むことで、自由パラメータ数を削減し、効率を向上させること。
• 本手法の有効性を1次元並進不変スピン鎖において示し、高次元系やその他の多体問題への応用を拡張すること。

提案手法

• 成長する系にわたる一貫性制約の階層を導入することで、実現可能な局所的縮小密度行列（RDM）の集合に対する凸緩和を定式化する。
• RG粗化写像を用いて重複する制約を除去し、処理可能なレベルまで制約の数を著しく削減する。
• 得られた凸集合上で線形最適化を実行し、局所的ハミルトニアンの基底状態エネルギーに対する厳密な下界を求める。
• 並進不変性やグローバル群作用を保存するように、対称的行列積状態（MPS）やテンソルネットワークから粗化写像を構築する。
• 1次元系では局所的並進不変（LTI）階層を用い、2次元系では三角形または正方形のパッチ粗化と対称性を保つ写像を用いて拡張する。
• 外挿技術とSDPモデリングソフトウェアを用いて、所望の精度を得るための必要システムサイズを推定し、実用的実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レノルミゼーション群（RG）フレームワークを用いて、物理的整合性を保ちつつ、実現可能な縮小密度行列の集合を体系的に緩和し、エネルギー下界を導出できるか？
• RQ2 重複する制約を除去しつつもエネルギー下界の精度を維持できるように、RG粗化写像をどのように設計できるか？
• RQ3 対称性を保つ粗化写像を用いることで、緩和における自由パラメータ数をどの程度削減でき、スケーラビリティを向上できるか？
• RQ4 本手法により得られるエネルギー下界の達成精度は、既存の変分的または緩和的手法と比較してどの程度か？
• RQ5 本アプローチは、高次元スピン系や電子構造、もしくは非局所性検出などの他の多体問題へ一般化可能か？

主な発見

• 本手法は、1次元並進不変スピンモデルの基底状態エネルギー下界を、スピン数約100の局所的並進不変状態の最適化と同等の精度で達成する。
• 2次元ヘイゼンベルグ模型では、文献に既存の最高水準の結果に近い下界を生成し、辺の長さ l ≳ 11 の三角形パッチを用いることで、1桁の改善が予想される。
• 対称的粗化写像（例：対称的MPSからのもの）を用いることで、自由パラメータ数が削減され、物理的対称性を保持したまま効率的な緩和が可能になる。
• RG写像を用いて重複する制約を除去することで、計算コストが顕著に低減され、大規模な系に対してもSDP緩和が実行可能になる。
• 本手法は一般性に富み、高次元スピン系、電子構造、もしくはエンタングルメント／非局所性検出など、幅広い問題に応用可能である。
• 数値結果から、本手法の性能は系のサイズに伴い有利にスケーリングされ、外挿により中程度の計算リソースで高精度の下界が達成可能であると示唆される。