[論文レビュー] Lower Bounds Against Sparse Symmetric Functions of ACC Circuits: Expanding the Reach of #SAT Algorithms

Nikhil Vyas, Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ACC回路における効率的な#SATアルゴリズムと強力な回路下界の間の新しい接続を確立し、ACC回路に対する非自明な#SATアルゴリズムが、f ◦ ACC₀（fはスパースな対称関数）形式の多項式サイズ回路を持たないQuasi-NPを示すことを示している。主な貢献は、#SATアルゴリズムの力を一般化したフレームワークであり、元のクラスよりも表現力の高い回路クラスに対する下界を導出する。

ABSTRACT

We continue the program of proving circuit lower bounds via circuit satisfiability algorithms. So far, this program has yielded several concrete results, proving that functions in Quasi-NP = NTIME[n^{(log n)^O(1)}] and NEXP do not have small circuits (in the worst case and/or on average) from various circuit classes C, by showing that C admits non-trivial satisfiability and/or #SAT algorithms which beat exhaustive search by a minor amount. In this paper, we present a new strong lower bound consequence of non-trivial #SAT algorithm for a circuit class {C}. Say a symmetric Boolean function f(x₁,…,x_n) is sparse if it outputs 1 on O(1) values of ∑_i x_i. We show that for every sparse f, and for all "typical" C, faster #SAT algorithms for C circuits actually imply lower bounds against the circuit class f ∘ C, which may be stronger than C itself. In particular: - #SAT algorithms for n^k-size C-circuits running in 2ⁿ/n^k time (for all k) imply NEXP does not have f ∘ C-circuits of polynomial size. - #SAT algorithms for 2^{n^ε}-size C-circuits running in 2^{n-n^ε} time (for some ε > 0) imply Quasi-NP does not have f ∘ C-circuits of polynomial size. Applying #SAT algorithms from the literature, one immediate corollary of our results is that Quasi-NP does not have EMAJ ∘ ACC⁰ ∘ THR circuits of polynomial size, where EMAJ is the "exact majority" function, improving previous lower bounds against ACC⁰ [Williams JACM'14] and ACC⁰ ∘ THR [Williams STOC'14], [Murray-Williams STOC'18]. This is the first nontrivial lower bound against such a circuit class.

研究の動機と目的

• 標準的な回路クラスを超えた回路下界へのアルゴリズム的アプローチを拡張すること。
• クラスCのための#SATアルゴリズムが、より強力なクラスf ◦ Cに対する下界を示すかどうかを調査すること。
• #SATアルゴリズムの進展をより強い回路下界に昇華する一般化されたフレームワークを確立すること。
• EMAJ ◦ ACC₀ ◦ THRに対する最初の非自明な回路下界を証明すること。

提案手法

• ACC回路の#SATアルゴリズムを用いて、C回路の均一な対称関数を計算する。
• グラフにおける大きな独立集合の検証問題を、C回路の和の評価に還元する。
• 非決定的アルゴリズムを用いて、C回路の対称関数fをt個の部分回路に分解してシミュレートする。
• 全入力に対する満たされる割り当ての総数を計算するために#SATアルゴリズムを用いる。
• 独立集合のサイズに基づいてYESとNOのケースを区別するための数え上げ的議論を適用する。
• #SATが多項式サイズのC回路に対して時間2ⁿ / b(n)で解けると仮定し、b(n) = nω(1)である。もし下界が成り立たないならば、矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回路クラスCのための#SATアルゴリズムが、より強力なクラスf ◦ Cに対する下界を示すことができるか？
• RQ2 スパースな対称関数fに対して、f ◦ Cに対する非自明な下界を得るために必要な最小限のアルゴリズム的進歩は何か？
• RQ3 アルゴリズム的アプローチから下界へのパラダイムをACC₀を超えるクラスへ拡張可能か？
• RQ4 EMAJ ◦ ACC₀ ◦ THR回路に対して、最初の非自明な下界を証明することは可能か？
• RQ5 スパースな対称関数の構造が、回路複雑性と#SATアルゴリズムにどのように作用するか？

主な発見

• nkサイズのACC回路に対する#SATアルゴリズムが、すべてのkに対して2ⁿ / nk時間で動作するならば、任意のスパースな対称関数fに対してNEXP ∉ f ◦ ACC₀が成り立つ。
• 2ⁿεサイズのACC回路に対する#SATアルゴリズムが、あるε > 0に対して2ⁿ⁻ⁿε時間で動作するならば、任意のスパースな対称関数fに対してQuasi-NP ∉ f ◦ ACC₀が成り立つ。
• 既知の#SATアルゴリズムを適用することで、最初の非自明な下界が得られた：Quasi-NPは多項式サイズのEMAJ ◦ ACC₀ ◦ THR回路を持たない。
• このフレームワークは、#SATアルゴリズムが、分析対象のクラスよりも厳密に表現力の強い回路クラスに対する下界を示す可能性を示している。
• 証明は、回路構造から導かれるグラフにおける独立集合の数え上げ的議論に依存しており、#SATクエリによって検証可能である。
• 全体のアルゴリズムの実行時間は2ⁿ / b(n)（b(n) = nω(1)）であり、下界が成り立たない場合に矛盾が生じる。